Spiunkopf, m., frz. bois d'araignée, noque d'araignée, engl. deadeye of the crow-foot (Schiffb.), heißt das Doodshoft des Hahnenpoots. Spinnrocken u. Spindel sindEmbleme der Arbeitsamkeit. Spint, m., i. s. d. Art. Splint. — 2. f. d. Art. Mãß. Spira, f., lat., 1. Pfühl, Schaftgesims. — 2. frz. spire, Basis; spirae atticae, lat., attischer Säulenfuß. — 3. Auch Kegel, überhaupt jeder vunde, nach oben verjüngte Körper; daher auch 4. frz. Epier, engl. spire, s. v. w. Helmdach. — 5. Kegelgewölbe. Spiraculum, n., Lat., Rauchfang, bes. kegelförmiger. spiral, adj., engl., 1. schraubenähnlich gewunden. — 2. Helmdachförmig. Spirale, k. I. Spirallinie, Spinnlinie, k., frz. spirale, f., engl. spiral, Schneckenlinie, Schlangenlinie, eine krumme Linie, welche um einen festen Punkt unendlich viele Umläufe macht u. in demselben entweder seinen Anfang nimmt, oder sich in unendlich vielen, immer enger werdenden Umläufen um denselben windet, ihn aber nie erreicht. Die analytische Gleichung dieser Linien gestaltet sich am einfachsten, wenn man Polarkoordinaten zu Hülfe nimmt, deren Pol in jenem festen Punkt liegt. Wir wollen die wichtigsten Spiralen kurz betrachten und dabei sollen, wie gewöhnlich in der höheren Mathematik, die Winkel nicht in Graden ausgedrückt werden, sondern als Längen des entsprechenden Bogens auf einem Kreis vom Halbmesser 1. 1. Die archimedische S., auch Reoide, lineäre S. gen., deren Gleichung ist: aH. Bei ihr ist also der Radiusvektor dem Winkel , der sogenannten Anomalie, proportional. Um eine solche S. zu konstruiren, theile man einen Kreis in eine Anzahl gleicher Theile und in eben so viele eine durch den Pol gehende gerade Linie. Durch die ersteren Theilpunkte ziehe man radiale Linien, durch die letzteren konzentrische Kreisbögen um den Pol. Alsdann schneiden diese jene Radien in Punkten der archimedischen S. (Fig. 321). Um die Normale eines Punktes P zu konstruiren, ziehe man mit dem Halbmesser a einen Kreis um den Pol, errichte auf dem Radius des Punktes Pim Pol ein Perpendikel und verbinde den Schnittpunkt 0 beider mit dem Punkt P, alsdann ist P die Normale des Punktes P und die Tangente steht in P senkrecht darauf. Dabei ist der Halbmesser a oder O0 1— Der Flächenraum eines Sektors einer archimedischen S., welcher von den Fläche des ersten Umlaufes ist also . H —6 Die Rektifikation der archimedischen S. läßt sich auf die Bestimmung der Länge eines Parabelbogens zurückführen. Man kann begreiflicherweise die konzentrischen Kreise weglassen und legt nur die Mäße 1, 2, 3 etc. auf die Radien auf. Sobald ein Umgang voll ist und der zweite angetreten wird, bleibt die radiale Umgangsbreite konstant; denn bei Fig. 3215 z. B. folgen die Radienlängen tin nachstehender Weise: Bei Fig. 3216 ist 9 als Theilungszahl angenommen. Da ae in 13 Theile zertheilt wird, so hat der Punkt bis nach bereits % Umgang durchlaufen. Diese Figur stellt zugleich eine andere Methode der Tangentenzeichnung dar. Man zieht mit dem Radius o i aus c, durch 1, einen Kreisbogen; trägt die Länge von / Umsang desselben von i nach p, wobei ip die Tangente von diesem Kreisbogen ist, dann 2 von den Theilen des Radius a c von p nach g, rechtwinklig auf i p, so ist i9 die gewünschte Tangente. Beim ornamentalen Zeichnen wird diese archimedische S. sehr häufig verlangt; dabei ist meist die Höhe und Breite des Raumes, den sie füllen soll, und die Anzahl der Windungen gegeben. Soll aber die S. ganz regelmäßig sein, so bedingt die Anzahl der Windungen mit der Anzahl der Radien schon ihre Dimensionen. Hat z. B. eine nach links gewundene S. (Fig. 3217) vier volle Windungen und 6 Strahlen, also 6 Einheiten auf die Windungsbreite, so werden die Strahlen vom Mittelpunkt bis a, wo die vier Windungen voll sind, 24 Einheiten, nach b hin 19 Einheiten, nach ohin 19½, nach d hin 20, nach e hin 21, nach fhin 22, nach g hin 22½, nach h 23 Einheiten messen; also wird die ganze Höhe⸗=45 Einheiten, die ganze Breite 42 Einheiten sein. Allgemein gefaßt wird eine S. von n Windungen und p Strahlen (2. n. p) — ½ P Höhe und (2. n. p) — Pp Breite haben. Stimmt nun die Aufgabe, d. h. die Dimension des auszufüllenden Raumes, nicht mit diesem Resultat überein, so wird die S. keine regelmäßige, sondern eine gedrückte; soll z. B. die S. nach rechts gewunden sein, 3¾ Windungen und 4 Strahlen haben so würde sie (2.3¾. 4) — 2 ⸗ 28 Einheiten Höhe u. 26 Einheiten Breite erhalten. Hat nun aber der auszufüllende Raum z. B. 60 em. Höhe und 40 em. Breite, so ist keine vollkommene, wohl aber zwei annähernde Lösungen möglich; entweder nämlich theilt man die Höhe in 28 Einheiten, bliothe Heidelberg DFC deren jede also 28* 2 em. mißt, die Breite in 26 Einheiten, deren jede 70 —1 13 m. mißt, u. die S. gestaltet sich nach Fig. 3218 (die Windungsbreite in der Höhenrichtung wird dabei =8 em, in der Breitenrichtung —0 13 om.), od. man nimmt die Windung etwa zu 5 em. allgemein an u. behält dann einen Kern übrig, der 256m. hoch und 7½ em. breit ist, wie in Fig. 3219. — 2. Die parabolische S. hat die Gleichunger Eac. Während bei der vorigen die radialen Abstände jezweier aufeinander folgender Windungen gleich sind, nehmen sie hier mit dem Abstande vom Pol immer mehr zu, und zwar sehr rasch; bei 8 Radien z. B. wachsen die Radienmesser wie folgt: 3. Die Fermatsche S., deren Gleichung r a VH. Beid ihr werden die Windungen immer enger, je weiter man sich vom Pol entfernt. Die Radien stellen sich wie folgt: 1. 1,414; 1,732; 2; 2,286 1; 2,449; 2,646 etc. 4. Diehyperbolische S. Gleichung r-e/ o. Daher wird *unendlich, wenn = wird. Die Radien folgen sich im 1, ½, ½, ½, /½, ¼½ etc. Die Kurve hat eine Asymptote, welche vom Pole um a absteht, und nähert sich von dieser ab dem Pole immer mehr, um ihn aber erst nach unendlich vielen Windungen zu erreichen. Eigentlich lassen sich dieselben also in ihrem inneren Theile gar nicht zeichnen, annähernd geschieht dieses nach Fig. 3220; e ist ein Punkt der einen Asymptote a 34 einer gleichseitigen Hyperbel, deren andere Asymptote X y ist; der Radius a ist in 15 gleiche Theile zerlegt. Die in den Theilpunkten errichteten Ordinaten werden, die erste auf den Radius o1, die zweite auf c 2 etc. aufgetragen. Eine Eigenthümlichkeit dieser Kurve ist, daß sie eine konstante Subtangente (s. d.), welche gleich a wird, besitzt, und daß man infolge dessen sehr leicht an dieselbe die Tangente legen kann. Joh. Bernoulli hat zuerst gezeigt, daß die hyperbolische S. eine der Kurven ist, welche ein Punkt beschreiben kann, sobald er von einem festen Punkt im umgekehrten Verhältnis der Kuben des Abstandes angezogen wird. — 5. Der Lituus des Cotes, dessen Gleichung 1 = a. Die Gestalt der Kurve ist nahezu diejenige der hyperbolischen S., doch geht die Asymptote durch den Pol, auch kommen die Windungen nicht so schnell an den Pol heran. — 6. Die logarithmische S. Bei ihr sind die Radien einander geometrisch proportional, während die Winkel in arithmetischem Verhältnis zunehmen. Die Gleichung derselben istr Hae o/ mn, worin a eine konstante gerade Linie, m irgend ein Zahlenfaktor und e die Grundzahl der natürlichen Logarithmen bedeutet. Die Radien wachsen also, wenn wie 1, 2, 3, 4 etc. zunimmt und der zweite Radius das Doppelte des ersteren ist, wie 1, 2, 4, 8, 16, 32 etc.; ist der zweite Radius das Dreifache des ersteren, wie 1, 3, 9, 27 etc., so ist der zweite Radius das 1½ fache des ersten, wie 1,%½, 2c. Die logarithmische S. ist eine der wichtigsten u. interessantesten geometrischen Kurven. Sie besitzt die Eigenschaft, daß sie alle durch den Pol gehenden geraden Linien unter demselben Winkel schneidet, dessen Tangente gleich der Zahl meist; ferner, daß ihre Evolute, ihre Evolvente und noch eine größere Anzahl der Kurven, welche aus ihr nach irgend welchem Gesetze abgeleitet werden können, mit ihr selbst kongruent sind. Die Kurve nähert sich, ohne eine Asymptote zu haben, wie die hyperbolische S. und der Lituus, dem Pole immer mehr, um ihn erst nach unendlich vielen Windungen zu erreichen. Die Rektifikation führt auf ein höchst einfaches Resultat; bemerkenswerth ist, daß trotz der unendlich vielen Windungen doch der Bogen 8 von irgend einem Punkt bis zum Pol eine endliche Länge hat; er ist nämlichs r// 1 ＋ mꝰ. Der zwischen zwei Radienvektoren r und r. und der S. enthaltene Sektor hat den Flächeninhalt 1/¼4 m (1—I). Nach der logarithmischen S. kann man am besten die viereckigen Räder konstruiren. Sie würde sich auch bei weitem am besten für Konstruktion der ionischen Voluten eignen, da sie die einzige ist, bei welcher man die Windungsbreite beliebig regeln kann; doch würde die Bestimmung dieser Zunahme unter Rücksicht auf die Dimensionen des auszufüllenden Raumes zu sehr komplizirten Rechnungen führen. Die gewöhnlich in den architektonischen Handbüchern gegebenen Konstruktionsweisen sind aber ebenfalls sehr komplizirt; auch werden nach denselben die Spiralentheile immer mit dem Zirkel gezeichnet, wobei nie eine graziöse Linie erreicht wird, die sich eben nur aus freier Hand zeichnen läßt. Wir geben daher ein für alle Fälle brauchbares Verfahren an, um Sen mit gleichmäßiger Verbreiterung der Windungsweite zu zeichnen. In der Regel haben solche S.n ein sogenanntes Auge, das als Rosette od. dergl. regiert wird, und von welchem die Außenkante des sich herumwindenden Bandes od. Stäbchens als Tangente ausgeht. Der Punkt, wo dies geschieht, ist also der eigentliche Anfangspunkt. In der Regel wird man eine volle Anzahl von Windungen wünschen; bei unserem Beispiel (Fig. 3221) haben wir deren 3angenommen. Man lege nun die Zeichnung so auf das Bret, daß das Ende der Windungen obenhin kommt; dann wird der erste Strahl von dem Anfangspunkt aus lothrecht aufwärts gehen; die anderen Strahlen sind Tangenten an einer kleinen Ellipse, auf die wir bald zurückkommen. Bei 8 Strahlen (diese Zahl ist für das Zeichnen am bequemsten) und 3 Windungen haben wir also 24 gleiche Breitezunahmen der Windungen als Einheiten anzunehmen, so daß sich die Windungsbreiten auf die Strahlen vertheilen wie folgt: Strahl. Windungsbreite. Die ganze S. braucht also an 8 1 9 17 Höhes84, an Breite 72 Einheiten, 7 2 10 18 wozu noch die Mäße für das 6 3 11 19 Auge kommen, um die Total5 4 12 20 dimensionen zu bestimmen; sind 4 5 13 21 aber letztere gegeben, so bestim3 6 14 22 men sich die Dimensionen des 2 7 15 23 Auges durch eine Vergleichung Volute, die unserer Figur als Muster diente, an einem Kapitäl vom Tempel am Illyssos zu Athen die Breite zur Höhe wie 13:11, oder, was dasselbe ist, wie 91:77; demnach bleibt für das Auge ein Rechteck von 7 Einheiten Höhe u. 5 Einheiten Breite übrig, dessen Lage in der Figur man beim Beginn der Zeichnung dadurch findet, daß man von rechts herein die auf den Strahl 3 entfallenden 42 Einheiten, von links die 30 Einheiten des Strahles 7, von oben die 48 Einheiten des Strahles 1 und von unten die 36 Einheiten des Strahles 5 aufsetzt. Der Kreis wird nun an das Rechteck so angezeichnet, daß er es in der Mitte der Oberseite u. an beiden unteren Ecken berührt; darauf sticht man an der linken Seite (bei sich rechts windender S.), sowie oben und unten, eine Einheit von der Rechtecksseite herein; in dem so gewonnenen kleineren Rechteck sitzt die oben erwähnte kleine Ellipse; an diese zieht man nun die Tangenten und trägt auf diese von der Peripherie des Kreises aus die Windungsmäße. Durch Verbindung der hierdurch gefundenen Punkte erhält man die S. Außer den ionischen Schnecken (s. d. Art. Volute) werden auch die Grundrisse für die Mäkler (s. Treppe), die Schnecken der Konsolen, die caulicoli an den korinthischen Kapellen ac. nach der S. gezeichnet. II. S. od. Spiralkorb nennt man auch einen Seilkorb an Göpeln, die dann Spiralgöpel heißen, u. an Bremswerken, der das Seil durch spiralförmige Erhöhungen nöthigt, sich neben einander in einzelne Windungen zu legen. III. Die Benennung S. wird auch — unrichtig — oft für Schraubenlinie gebraucht, von der sie sich aber dadurch unterscheidet, daß die Schraubenlinie sich an eine Cylinderfläche anlegt, die S. aber der Grundriß einer Linie ist, die an einer Kegelfläche aufsteigt.