Abwickelung, k., frz. développement, déroulement, m.j engl. unrolling, ist die Ausbreitung gekrümmter Körperoberflächen in eine Ebene (in die Ebene des Zeichenpapiers) zum Zweck der künstlichen Darstellung entsprechender Körperumhüllungen. Wir geben hier nur die A. der Cylinder⸗, Kegel⸗ u. Kugeloberflächen, da alle anderen A.en. sich auf diese begründen od. zurückführen lassen. PDer Cylinder ist, je nach der Stellung seiner Achse zu seiner Grundebene, ein gerader (die Achse steht senkrecht auf der Grundebene) oder ein schiefer (die Achse steht schief zur Grundebene). Die A.des geraden Kreiscylinders, Fig.53, ergiebt ein Rechteck, dessen eine Seite gleich dem Umfang des die Grundebene bildenden Kreises (s. Rektifikation) und dessen andere Seite gleich dem senkrechten Abstand der beiden den Cylinder begrenzenden Kreisflächen od. der Höhe des Cylinders ist. Der schiefe Kreiscylinder, Fig. 54, wird pvon zwei elliptischen Flächen begrenzt, wie der Grundriß der Figur zeigt. Die A. desselben läßt sich theilweise auf die eines geraden Kreiscylinders zurückführen, wenn man im Aufriß von b und daus die Schnitte beu. de senkrecht nach den gegenüberliegenden Cylinderseiten führt; den so herausgeschnittenen geraden Kreisylinder wickelt man nach der vorhergegangenen Erklärung ab; seine A. ergiebt das Rechteck II,III', Fig. 55; theilt man diese Abwickelungsfläche in eine beliebige Anzahl gleicher Theile, z. B. in 12, u. überträgt diese Theilung auf Fig. 54, so werden die an dem geraden Cylinder ansitzenden Cylinderabschnitte de und a bfebenfalls auf ihren Oberflächen in so viel Theile getheilt, u. man kann nun aus Fig. 54 die Längen an den entsprechenden Punkten in Fig. 55 antragen, und indem man dann die Endpunkte derselben durch eine stetig gekrümmte Linie verbindet, erhält man die Abwickelungsfläche des schiefen Cylinders in Fig. 55. Die Abwickelungsfläche des geraden Kreis. kegels, Fig 56, ist ein von Länge gleich der Seitenlänge a c des Kegels ist, und einem Kreisbogen 2 5 begrenztes Dreieck, dessen Mittelpunkt im beiden Geraden à c und bliegt und dessen Halbmesser gleich 7 7 der Länge dieser Geraden ist. Der Winkel a c b, welchen die beiden Geraden à c und 6 b mit einander einschließen, wird gefunden, wenn man“ mit der Zahl, welche ausdrückt, wie viele Male der Halbmesser der Basis des Kegels in der Seite desselben enthalten ist, in 360 dividirt; die erhaltene Fig. 56. Zu Zahl drückt die Gradzahl des Winkels Art. Abwickelung. aus. In Fig. 56 ist der Halbmesser der kreisförmigen Basis a b des Kegels dreimal in der Seitenlänge a centhalten; daher umschließt der Winkel à c b 120. Man könnte mit beliebiger Annäherung die Abwickelungsfläche des geraden Kreiskegels auch durch die Abwickelungsfläche einer von demselben umhüllten Pyramide darstellen. Man theilt hierzu den Umfang der kreisförmigen od. sonstwie geformten Basis in eine beliebige Anzahl (je mehr desto besser) gleiche Theile, z. B. in 8; überträgt man dann die Theilpunkte durch senkrechte Linien nach der Basis a b des Kegels auf dieselbe, zieht dann aus diesen Punkten 2“, 3•, 4⸗, 5, u. s. w. der Basis à b Gerade nach der Spitze e des Kegels, so erhält man eben so viel geradseitige Dreiecke, als man Theilpunkte im Umfang der Grundfläche ange nommen hatte, u. diese Dreiecke umhüllen eine Pyramide, die um so mehr sich der Kegelfläche nähert, je weniger die Sehnen zwischen je zwei benachbarten Theilpunkten der Grundfläche von den dazu gehörigen Bögen in der Länge verschieden sind, d. h. je kleiner die Theile im Umfang der Grundfläche sind. Die Seitenlängen dieser gleichschenkligen Dreiecke werden bestimmt durch die Längen der Kegelseiten und die Längen der Sehnen der Bogentheilchen des Umfangs der Grundfläche; legt man so viel solcher Dreiecke, als Theile des Umfangs vorhanden sind, so an einander, daß die Spitzen derselben in einen Punkt zusammenfallen u. je zwei benachbarte eine Seite gemein haben, so erhält man eine der Abwickelungsfläche des gegebenen Kegels mehr oder weniger genäherte Fläche. Die Bestimmung der Abwickelungsfläche des schiefen Kegels findet man in ähnlicher Weise, wie beim geraden. Die in der Praxis am häufigsten vorkommende Form des schiefen Kegels ist so gewählt, daß eine Seite desselben gerade ist, d. h. senkrecht auf der Grundfläche des Kegels steht, bc, Fig. 57. Man theilt den Umfang der kreisförmigen Grundfläche in eine möglichst große Anzahl gleicher Theile, 3. B. 12, und überträgt diese Theilpunkte durch senkrechte Linien aus dem Grundriß in die Basis à b des Aufrisses man erhält so auf a b die Punkte 2“, 3“, 4“, 5. und 6.; von diesen Punkten zieht man im Aufriß, Fig. 57 A, Gerade nach der Kegelspitze e. Im Grundriß, Fig. 57 B, zieht man vom Fußpunkt 7 der geraden Kegelseite be Gerade nach allen Theilpunkten des Umfangs hin, welche die Grundrisse jener Geraden geben. Um auch die Abwickelungsfläche des schiefen Kegels durch aneinander gelegte Dreiecke annähernd zu konstruiren, hat man zuerst die wahre Länge der auf der Kegelfläche gezogenen Geraden 26, 30, 40 u. s. w., welche Seiten dieser Dreiecke bilden, zu bestimmen. Die genannten Geraden bilden aber mit den im Grundriß gezogenen Geraden 7,6; 7,5; 7,4 u. s. w. und mit der geraden Kegelseitet porechtwinklige Dreiecke, welche man mittels der in wahrer Länge gegebenen Geraden be und 7,6; 7,5; „/4 u. die einen rechten Winkel einschließen, konstruiren kann. Diese Konstruktionen sind in Fig. 58 ausgeführt und dadurch die wahren Längen 106,, 26%, 30, u. s. w. der genannten Geraden erhalten. Aus diesen wahren Längen sowie den Längen der entsprechenden Bogensehnen (die hier alle gleich sind, weil der Kreisumfang in gleiche Theile getheilt wurde) kann man nun die Dreiecke 1062,263 re. konstruiren, die, in angegebener Weise an einander gelegt, die Abwickelungs-oder Umhüllungsfläche des gegebenen schiefen Kegels mit beliebiger Annäherung bilden, s. Fig. 59. Die Abwickelungsfläche der ngel wird auf folgende Weise mit beliebiger Annäherung gefunden. Sei Fig. 60 der Aufriß der gegebenen Kugel, so legt man durch die Kugelachse a b Vertikalschnitte, welche den Kugeläquator 1,9 in den gleichen Abständen 2, 3, 4, 5 u. s. w. schneiden und sich in dem Grundriß der Kugel, Fig. 61, als gerade Linien 1,9; 2,10; 3,11 u. s. w. darstellen, welche den Punkt a als Projektion des Pols u. Mittelpunkt des Aequators durchschneiden; legt man ferner im Aufriß Fig. 60 parallel zur Aequatorebene in gleichen Abständen Horizontalschnitte, so projiziren sich diese im Grundriß als konzentrisch zu a gelegte Kreise, welche die Vertikalschnitte durch ab, z. B. in den Punkten gh/h“ g“; e f, f. et; e d, o, d u. s. w. durchschneiden. Um nun einen der im vorliegenden Fall 163zählenden Kugelstreifen, z. B. 2 4,5,6 in Fig. 62, abzuwickeln und in die Ebene des Papiers zu legen, rektifizirt man zuerst einen größten Kugelkreis und macht die Geraden a b in Fig. 62 gleich der Hälfte desselben, ihren Abstand = 4,5; hierauf theilt man die Geraden a b in so viel gleiche Theile, als man gleiche Theile im Halbkreis des Kugeläquators angenommen hat, und zieht durch die erhaltenen Theilpunkte winkelrecht zu à b Gerade, auf welchen man dann, links und rechts von a maus, die Längen der halben Bogensehnen 4, 5; d, ek und g h Fig. 62 aufträgt; ebenso verfährt man auf der andern Hälfte bn der Geraden a b. HEIDELBERG O Universitats Verbindet man die erhaltenen Punkte, wie 40 2 ga h d 5, so erhält man die Hälfte des Umfangs eines abgewickelten Kugelstreifens die andere Hälftewirdeben so konstruirt und in gleicher Weise werden alle übrigen Kugelstreifen, deren Anzahl sich durch die Anzahl der Theile des Kugeläquators bestimmt, abgewickelt, welche, mit ihren Spitzen a und b vereinigt, annähernd die verlangte Kugel bilden.