Oberstäche, f. frz. superficie, surface, f. engl. u. lat. superficies, engl. auch surface, Begrenzung eines geometrischen Körpers, betrachtet als etwas zu dem Körper Gehöriges. Abgesondert vom Körper gedacht, erhält sie den Namen Fläche (s. d.). Zu völliger Begrenzung eines Körpers ist entweder blos eine Fläche nothwendig, wie bei der Kugel oder dem Ellipsoid, oder man bedarf dazu einer bestimmten Anzahl, von welcher dann ein Theil oder die Gesamtheit eben sein kann. Soll eine vollständige Begrenzung durch Ebenen allein erreicht werden, so sind dazu mindestens vier derselben nothwendig. Die wichtigste Aufgabe über Oten ist die, ihren Flächeninhalt (s. d.) zu bestimmen. Die Lösung derselben, bei krummen Flächen gewöhnlich Komplanation der Flächen gen., geschieht im allgemeinen mit Hülfe der Integralrechnung und stößt bereits in sehr einfachen Fällen auf bedeutende Schwierigkeiten. So reichen schon zur Komplanation des dreiachsigen Ellipsoides die gewöhnlichen algebraischen, trigonometrischen und logarithmischen Funktionen nicht mehr aus, vielmehr muß man dabei die sogen. elliptischen Funktionen zu Hülfe nehmen. Für einige der wichtigsten Fälle folgen hier die Lösungen: I. Für ebenflächige Körper: 1. Die O. eines rechtwinkligen Parallelepipedons, wozu auch der Würfel gehört, ist gleich der doppelten Summe aus den 3 Produkten je zweier an einander stoßender Kanten. — 2. Die O. eines schiefwinkligen Parallelepipedons ist, wenn drei zusammenstoßende Kanten desselben a, b, e u. die von denselben eingeschlossenen Winkel (a, b), (a, e), (b, e) sind: 3. Die Seitenoberfläche eines rechtwinkligen Prismas findet man durch Multiplikation seines Basisumfanges mit seiner Höhe. — 4. Die Seitenoberfläche einer regelmäßigen Pyramide (d. i. eine solche, deren Grundfläche ein regelmäßiges Polygon ist und deren Scheitel senkrecht überdem Mittelpunkte desselben liegt) ist gleichdem Basisumfang; multiplizirt in dieselbe Höhe einer der Seitenflächen. — 5. Die Seitenoberfläche einer regelmäßigen abgestumpften Pyramide ist gleich h /2(U.Ue), woU u. die Umfänge der beiden Grundflächen bedeuten u. hdie Höhe eines der Trapeze ist, welche die Seitenfläche ausmachen. II. Für krninmflächige Körper. 1. Die Seitenoberfläche eines geraden Cylinders ist gleich der O. eines Rechtecks, dessen Länge gleich dem Umfange 2r der Basis des Cylinders und dessen Breite gleich der Höhe desselben ist, also O ⸗ erhn, während die Gesamtoberfläche des Cylinders durch 2r& (2 ＋ h) dargestellt wird. — 2. Die Seitenoberfläche eines geraden Kegels ist gleich einem Kreisausschnitt, dessen Halbmesser gleich der Seitenlänge Vr＋h des Kegels und dessen Bogenlänge gleich dem Umfang der Basis des Kegels ist, also: O 1 ＋ h². — 3. Die Seitenoberfläche eines abgestumpften geraden Kegels ergiebt sich aus den Halbmessern r u. r. der beiden Grundflächen und aus seiner Höhe h durch die Formel 4. Die O. einer Kugel vom Halbmesser rist O dN oder gleich dem vierfachen Inhalt eines größten Kreises. — 5. Der Inhalt der krummen Fläche einer Kugelzone oder einer Calotte ist O ＝ rhr, wo b die Höhe der Zone und r der Radius der Kugel ist, aus welcher sie geschnitten wurdo, od., wenn r u. r. die Halbmesser der beiden Grundflächen der Kugelzonen sind: Für die Kugelcalotte wird einfacher O ＝ (a h²) ＋ (1 4 ½, wo a den Halbmesser der Basis und F. den Inhalt derselben bedeutet. — 6. Der Flächeninhalt eines sphärischen Dreiecks mit den Winkeln A, B und C wird, wenner den Halbmesser der Kugel bezeichnet, aus welchem dasselbe geschnitten worden ist: 7. Die Gesamtoberfläche eines abgeplatteten Rotationsellipsoides mit der halben großen Achse a und der halben kleinen Achse b ist: 8. Die Gesamtoberfläche eines verlängerten Rotationsellipsoides ist, wenn dieselben Bezeichnungen beibehalten werden: Man sieht, wie schon in den sehr einfachen Fällen 7 und 8 sehr komplizirte Resultate hervortreten.