fläthen, trans. Z., s. v. w. mit der Fläche (s. d. 2.) bearbeiten; vergl. auch d. Art. abflächen. Clücheninhalt, m., frz. aire, f. engl. area, superficial content, span. cabida, heißt bei einer ebenen Figur die Größe der durch die Figur bedingten begrenzten Ebene u. wird meist in Quadratmäß ausgedrückt. Bei krummen Flächen, sowie bei Körpern mit ebenen Flächen, braucht man lieber den Ausdruck Oberfläche; s. d. Art. Fläche 4.— Der F. wird oft durch die Buchstaben Fod. Lausgedrückt. IJ. Für nebenstehende Figuren, auch im Art. Biegungsmoment berücksichtigt, ist der F. in Rubr. 3 d. Tab. gegeben. Es sind dabei die Maße einer u. derselben Figur in demselben Längenmäß zu nehmen, z. B. alle in Zollen od. alle in Centimetern. Der Ausdruck Fist alsdann imentsprechenden Quadratmaß ausgedrückt, bezüglich in Quadratzoll oder in Quadrateentimetern. F. ½ b h. b) Wenn die drei Seiten a, b, ogegeben sind, oder, wenn man s ½ιAbe) einführt, wo mithins der halbe Umfang des Dreiecks ist,‚ o) Wenn zwei Seiten a, bu. der eingeschlossene Winkel/ gegeben sind, ist F ½ a b sin y. d) Wenn eine Seite a Und die beiden anliegenden Winkel 8 u. Y gegeben sind, ist F Eee e) Wenn a, b, o die drei Seiten u. Rder Radius des umschriebenen Kreises ist, wird F f) Wenn U der Umfang, d. i. die Summe der drei Seiten, under der Radius des eingeschriebenen Kreises ist, wird F ½ U r. — 2. Beim Parallelogramm. a) Wenn b eine Seite desselben und hder Abstand dieser Seite von der ihr parallelen, mit anderen Worten die zugehörige Höhe ist, wird F ＝ b h. b) Wenn a, b zwei anstoßende Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel ist, wird H d b sin J. c) Wenn f, g die beiden Diagonalen u. s der von ihnen eingeschlossene Winkel, gleichviel, ob man den spitzen od. stumpfen nimmt, ist, wird E ½ kg siné. — 3. Beim Paralleltrapez. a) Wenn a, b die beiden parallelen Seiten u. h den Abstand od. die Höhe zwischen beiden anzeigt, wird E ½ (4 ＋ ) h. b) Wenn a, b die beiden parallelen Seiten, e eine der beiden anderen Seiten unv d der Winkel ist, den e mit einer der beiden parallelen Seiten bildet, gleichviel ob man den spitzen oder stumpfen nimmt, so wird F ½ (4 ＋ b) C sin . — 2. Bei einem Viereck, um welches sich ein Kreis beschreiben läßt, ist, wenn die vier Seiten die Längen a, b, e, & haben, oder wenn man den halben Umfang, d. h. Nr. Figur. ö Flächeninhalt (E) — 5. Bei einem Viereckim allgemeinen. 3) Man zerlegt das Viereck durch eine Diagonale in Dreiecke und nimmt für Fdie Summe der Fie beider Dreiecke. b) Wenn 47 8 die beiden Diagonalen und s der von ihnen eingeschlossene Winkel ist, gleichviel, ob man den spitzen oder stumpfen nimmt, so ist F ½ f g sin e. — 6. Bei Vielecken im glit / mothes 1882bdꝰ?/0350 allgemeinen, bei welchen n die Anzahl der Seitens ein mag. a) Man zerlegt das Vieleck von einer Ecke aus durch die u—3 Diagonalen, welche diese Ecke mit den anderen Ecken verbinden, in 5—2 Dreiecke, und bestimmt die Fie aller dieser Dreiecke, so ist Egleichder Summe derselben. b) Man wendet Koordinaten an und bestimmt den F. in der Weise, wie im Art. Koordinaten angegeben ist. Wenn (XI I), (29). (Xpyn) die Koordinaten dereinzelnen aufeinander folgenden Eckpunkte sind, und die Abscissenachse dabei das Vieleck nicht schneidet, auch alle Koordinaten positiv sind, und wenn ferner der Punkt (X. V.) die kleinste Abseisse und der darauf folgende Punkt (ũzyr)eine größere Ordinate hat als der (X VI) vorhergehende (Enn), so wird oder in bequemerer Form: woher Fleicht zu finden. Am bequemsten nimmt man dabei Punkti yi als den am weitesten nach linksliegenden Punkt und den Anfangspunkt der Koordinaten in der Abseissenachse da, wo die Ordinate y, dieselbe trifft; die anderen Punkte liegen dann nach rechts zu. Dann ist x. = O. ) Wenn n— 1 auf einander folgende Seiten und die von ihnen gebildeten n—2 Winkel des Vielecks gegeben sind. Hierfür giebt Prof. Grunert in Greifswald in seinem Werke: „Die Elemente der ebenen sphärischen und sphäroidischen Trigonometrie“ (Leipzig 1837, Schwickert) eine allgemeine Formel an. Seien nämlich z. B. für ein Sechseck Ar, A2. .. Ac die auf einander folgenden Eckpunkte u. gleichzeitig die Bezeichnung für die Winkel, welche die in diesen Punkten mitihren Spitzen liegenden Vieleckswinkel zu 1800 ergänzen (so daß, wenn der Flächenwinkel, der in Ar liegt, 150% ist, der Winkel A, selbst 30 ist), seien ferner die a1/ 42, 25, Ag bezeichnet, so hat man Der Ausdruck rechts läßt leicht die Art seiner Zusammensetzung erkennen; er enthält weder die Seite 36 noch die Winkel A, und A6. Auch läßt sich das Gesetz für Vielecke mit mehr als 6 Seiten erkennen. Für ein Fünfeck braucht man nur in dem Ausdruck die Glieder, in welchen az, und die, in denen A vorkommt, wegzulassen, od., was dasselbe sagt, man braucht nur as gleich Null zu setzen; so z.B. für ein Viereck a, und az, jedes o zu setzen. Im Fall einer der Vieleckswinkel ein einspringender, mithin konvey ist, hat man den Ergänzungswinkel dadurch zu bestimmen, daß man von dem konvexen Winkel 180 abziehtu. das Resultat negativ nimmt; so ist z. B., wenn der Flächenwinkel in Dabei ist zu beachten, daß wenn der sinus eines negativen Winkels vorkommen sollte, dieser ⸗— sin des positiven Winkels ist; so z. B. ist sin (—20%) — sin 20“. Die Anzahl der Glieder in dem Ausdruck zur rechten Hand beträgt für ein n-Eck Ergänzungswinkel (für einen konvexen Winkel als Vieleckswinkel negativ genommen) ist, wenn man A, und An mitrechnet, 360 oder 4 Rechte. — 7. Für Vielecke mitbesonderen Eigenschaften. ) Füreinreguläres Vieleck von n Seiten. ) Wenn dessen Seite = a ist: ＋ =· 5 cotg 53 6) Wenn der Radius des um-EIDOELBERG O Universitats schriebenen Kreises R ist, wird K 2R. sin VWenn der Radius des eingeschriebenen Kreises —r ist, wird Fn 2 bg Für ein nicht reguläres Vieleck, welches sich aber ineinen Kreis einschreiben läßt, hat man, wenn az, aa,. . an die Seiten u. K der Radius des umschriebenen Kreises ist, den vierfachen Flächeninhalt: AR —an. c) Für ein reguläres Vieleck, welches sich aberumeinen Kreis beschreiben läßt, hat man, wenn U der Umfang des Vielecks, d. i die Summe der n-Seiten, sowie r der Radius des eingeschriebenen Kreises ist: K ½ Ur. III. Kongruente Figuren haben stets gleiche F.e. Bei ähnlichen Figuren verhalten sich die Flächenräume wie die Quadrate zweier homologer Seiten oder Linien. Im besonderen verhalten sich die Fle zweier Parallelogramme oder zweier Dreiecke, bei denen ein Winkel der einen Figur gleich einem Winkel der andern Figur ist, wie die Produkte aus den diese gleichen Winkel einschließenden Seiten. Reguläre Vielecke mit gleicher Seitenzahl sind stets ähnlich u. verhalten sich ihre Frewie die Quadrate ihrer Seiten oder wie die Quadrate der Radien der ein⸗ od. umgeschriebenen Kreise. In der Geometrie nennt man Figuren mit gleichen Fen gleich. Das Kapitel von der Gleichheit der Figuren betrachtet derartige gleiche Figuren. Es kann dabei ein Vieleckeinem andern gleich sein, das eine größere od. kleinere Anzahl von Seiten hat; auch kann eine krummlinige Figur einer geradlinigen gleich sein; s. z. B. d. Art. Parabel und Möndchen des Hippokrates. Unter allen Vielecken von gleicher Seitenzahl und gleichem Umfang hat die reguläre Figur stets den größten F., und umgekehrt unter allen Vielecken von gleicher Seitenzahl u. gleichen Fien stets den kleinsten Umfang. Ebenso hat bei einer bestimmten Anzahl von Seiten, wenn die Länge der Seiten selbst gegeben ist, unter allen Vielecken, die sich mit diesen Seiten konstruiren lassen, dasjenige den größten F., welches sich in einen Kreis einschreiben läßt. Unter allen Figuren von gleichem Umfang, seien sie gerad⸗ od. krummlinig, hat der Kreis den größien F., und umgekehrt, unter allen Figuren von gleichem F. den kleinsten Umfang. Zwei Kreise sind natürlich auch stets ähnlich, und verhalten sich Fie wie die Quadrate der Halbmesser. VIV. Für ebene Figuren mitkrummliniger Begrenzung findet man den F. wie folgt: 1. Kreis. a) Für den ganzen Kreis mit dem Halbmesser oder Radius FE 1 3,1450 r.e. (Ueber 2 s. P.) b) Für einen Kreissektor mit dem Radius r, dessen Centriwinkel as beträgt, schnitt od. ein Kreissegment, wenn der Radius r, der Centriwinkel der zugehörigen Sehne⸗ angenommen wird, ist Fren 560 — ½ re sin a, solange & C 180 ist. Ist der Abschnitt größer als der Halbkreis, so wird . E 180, wodurch das letzte Glied felbst negativ wird, so daß die 2. Für die Ellipse mit den Halbachsen a und b ist K abR⸗ 3,44159 4 b. 3. Für andere Kurven s. d. Art. über die betr. Kurven. 4. Den F. von Flächen, die durch eine Kurve, deren Gleichung man kennt, u. durch zwei Ordinaten sowie durch die Abseissenachse, oder auch durch die Kurve und zwei Radienvektoren begrenzt sind, bestimmt die Integralrechnung. Diese Bestimmung heißt die Quadratur der Kurve, s. Kurve. tsbibliothek Heidelberg TCDF V. Wenn man sich mit annähernden Bestimmungen begnügt, oder wenn der gegenwärtige Stand der Integralrechnung das Integral des für die Auadraturzuermittelnden Ausdrucks nicht finden läßt, benutzt man eine eigene Rechnungsart der höheren Arithmetik, welche mit der Interpolationstheorie im Zusammenhang steht und mechanische Quadratur heißt. 1. Es gehören dahin f zwei Formeln zu Aunäherungsbestimmungen für den Fall, daß man eine ebene Fläche bestimmt, welche durch eine Kurve, die zwei Grenzordinaten derselben u. die Abseissenachse begrenzt sind; es wird dabei vorausgesetzt, daß man den durch die beiden Grenzordinaten bedingten Abschnitt der Abseissenachse (dessen Endpunkte durch die Fußpunkte e der Ordinaten, welche zu den Grenzpunkten des Kurven-d bogens gehören, bestimmt sind), in eine bestimmte Anzahl gleicher Theile theilt, und für diese Theilungspunkte die zugehörigen Ordinaten der Kurve ermittelt. a) Man theile den Unterschied der Abseissen der beiden Grenzpunkte in gleiche Theile; die beiden Grenzordinaten seien y, und vn,1 wird annähernd, wenn h den ganzen Unterschied bezeich-Hierbei ist die unter II. 3.a beim Paralleltrapez angegebene Formel benutzt, die auch unter II. 5. bangewandt wurde, indem man annäherungsweise angenommen hat, die Bogen der Kurve zwischen den Punkten, deren Ordinaten vo u. i, ferner vi u. va re. sind, seien gerade Linien. 5) Man theile den Unterschied hder Abseissen der beiden Grenzordinaten in In gleiche Theile (also in eine gerade Zahl von gleichen Theilen); die Grenzordinaten mögen u. yan sein u. die Ordinaten der Kurve, in den dazwischen liegenden Theilungspunkten errichtet, seien 3u, Ven —1, so wird nach der von dem Engländer Simson aufgestellten sogenannten Simsonschen Regel: F drei auf einander folgende Punkte der Kurve, z. B. durch die drei Punkte, deren Ordinaten 56, , Ve, sowie deren Ordistruirt seien, deren Achsen der Richtung der Ordinaten parallel laufen. Die Fläche selbst ist annähernd als durch die Bogen der verschiedenen Parabeln begrenzt anzusehen. In beiden Fällen a und b wird die Annäherung an den wahren F. um so größer, in je mehr gleiche Theile man den Unterschied hder Grenzabseissen eintheilt. Für einen Kreisquadranten findet man nach diesen Regeln, wenn man den Halbmesser r in zehn gleiche Theile theilt, nach a) den Werth 0,751721, nach b) 0,3 r', während der wahre Werth 0,85258 r' zwischen beiden liegt, dem Werth baber näher als dem von a. Formel a giebt stets bei Kurven, die nach der Abseissenachse hin konkav sind, zu kleine Werthe. 2. Aehnlich kann man für den Fall, daß die Kurvengleichung in Polarkoordinaten gegeben ist, und man das durch die Kurve u. zwei Grenzfahrstrahlen begrenzte Stück bestimmen will, den durch diese Grenzfahrstrahlen gebildeten Winkel in ugleiche Theile theilen und die zu den einzelnen Theilungswinkeln gehörigen Fahrstrahlen der Kurve ermitteln, wobei man die so entstehenden Flächensektoren als Kreissektoren auffassen kann; ist u der Winkel zwischen den beiden Grenzfahrstrahlen r. u. rn in Graden angegeben, u. sind dié dazwischen liegenden Fahrstrahlen VI. Ueber den F. der Oberflächen von Körpern mit ebenen Flächen, sowie über den von krummlinigen Flächen, welche letztere man sich in der Ebene ausgebreitet denkt, s. d. Art. Komplanation u. Oberfläche. Clüchenmuß, w., Flächeneinheit, k., frz. unité de surkace, engl. measuring-unit of surface, ist das der Bestimmung des Flächeninhalts einer Figur zu Grunde liegende Mäß. Als Einheit des Fles, welche selbst die Fläche einer Figur sein muß, wurde das Quadrat angenommen, weil die Winkel desselben alle Rechte sind, u. weil sich dasselbe leicht mit Hülfe der Länge der Seite bestimmen läßt. Ist die Länge der Seite im Längenmäß ausgedrückt, ein Meter, ein Fuß etc., so heißt die entsprechende Einheit des F.es oder das Quadrat über der betreffenden Seite ein Quadratmeter, Quadratfuß etc. Zerfällt die Einheit des Längenmaßes in n Einheiten niederer Art, so zerfällt die entsprechende Quadrateinheit in n Quadrateinheiten niederer Art; s. d. Art. Fuß, Quadratfuß etc. Größen u. Benennungen der Fee verschiedener Länder etc.; s. d. Art. Maß.