Elastizitüt, f., frz. élasticité, f., engl. elasticity, auch Schnellkraft, Prellkraft, Federkraft, Spannkraft genannt. 1. Die Fähigkeit der Körper, nach einer durch Einwirkung von Kräften erlittenen Formveränderung beim Aufhören dieser Einwirkung ihre frühere Gestalt wieder anzunehmen, heißt Elastizität im weiteren Wortsinn. Ueberschreitet die Veränderung ein gewisses Mäß, so wird der Rücktritt in die frühere Gestalt unvollkommen; dieses Mäß heißt die Elastizitätsgrenze. Körper, bei denen es sehr groß ist, nennt man vollkommen elastische; solche, bei denen es sehr klein ist, unelastische, obgleiches im strengsten Wortsinn Körper von keiner dieser beiden Arten giebt. Kein Körper soll so starkbelastetwerden, daßdie Elastizitätsgrenzeerreicht od. gar überschritten wird. 2. E. im engeren Wortsinn nennt man den Widerstand, den ein Körper der durch eine Kraft angestrebten Veränderung seiner Form entgegenstellt. Eingetheilt wird dieselbe nach der Richtung der auf den Körper einwirkenden Kräfte gerade so wie die Festigkeit (s. d.), also in einfache und zusammengesetzte, erstere wieder in E. gegen Zug, Druck, Biegung, Verschiebung und Drehung. a) Elastizität gegen Zug und Druck. Die Spannung pro Flächeneinheit des Querschnitts eines Stabes, den eine Kraft P zu verlängern oder zu verkürzen strebt, verhält sich umgekehrt wie der Querschnitt (F gem.), direkt wie die Kraft. Die Längenänderung innerhalb der Elastizitätsgrenze, die elastische Veränderung /Rist proportional der Kraft P, bei gleicher Kraft proportional der ursprünglichen Stablänge Lund umgekehrt proportinal dem Querschnitt, kann also gesetzt werden: “ Fwenn die durch Pbewirkte Ausdehnung, die durch P bewirkte Zusammendrückung eines Stabes von der Länge und dem Querschnitt Nist. Ferner kann man /P bei demselben Material als konstant annehmen, innerhalb der Elastizitätsgrenze. Jenseit der Elastizitätsgrenze macht die permanente Veränderung einen beachtenswerthen Theil der totalen Veränderung aus. Der Elastizitätskoéffizient oder Elastizitätsmodnl E, d. h. die Kraft, durch welche ein prismatischer Körper von 1 9em. Querschnitt auf das Doppelte seiner Länge ausgedehnt, resp. auf die Länge Ozusammengedrückt werden würde, wenn dies überhaupt möglich wäre, ist E F od. für F= 1: H 25 „also wenn man das Gewicht eines Cem. der Materie, aus der der Körper besteht, seine Dichtigkeit setzt und Eals das Gewicht eines Körpers von demselben Querschnitt E und der Länge e, aus demselben Material bestehend, also E annimmt, so ist E ν also A/T. Dieses Längenmäß nimmt Traugold als Elastizitätsmaß an. Die bei einer Ausdehnung eintretende Querschnittsverminderung bedabei eintretende Vergrößerung des Volumens YV um v also ist 7 F L. Die Belastung, welche man ohne Zerstörung der E. anwenden kann, od. der Tragmodul des Körpers, ist in Hinsicht auf Ausdehnung P =＝ N. E für F =1, für Zusammendrückung TI. = E. Das Tragvermögen ist für Zug P F. E FT, für Druck E = F. XIE= ETI, also die dem Körper zu gebenden Querschnitte bei Annahme der Kraft P:F P/P, FI. = P/P., bei mfacher Sicherheit E Bei baulichen Konstruktionen ist stets anzurathen, nach diesen Tragmoduln (mit Annahme von m = 2½ oder 3) u. nicht nach den Festigkeitsmoduln zu rechnen; s. darüber d. Art. Festigkeit. Nur für die Stoffe, deren Tragmodul nicht bekannt ist, nehme man zum Festigkeitsmodul seine Zuflucht. Die mechanische Arbeit (s. d.), welche bei Ausdehnung eines Körpers um durch P verrichtet wird, ist W ½ 4. P, oder da nun Lund PF. X ist, das Volumen des Körpers, und ½ I ½½ ½ E nennt man den Arbeitsmodul & für Ausdehnung; analog ist der Arbeitsmodul für Kompression bis zur Elastizitätsgrenze A. ½ N E. Sei ferner g=. FL das eigene Gewicht des Körpers, so beträgt die Ausdehnung, welche er durch dasselbe allein erleidet, halb soviel wie die Ausdehso ist 7 wirkt aber P aufwärts, so ist also L 25 wird demnach keine totale Veränderung eintreten. Die Veränderung wird aber an jedem Theil des Stabes eine andere sein, weil stets nur das Gewicht des darunter befindlichen Theils mitwirkt, u. zwarist das Verhältnis /I. (das Maß der Veränderung für einen um * vom Angriffspunkt der Last entfernten Punkt) = 4 9 E dieser variable Werth ist, wenn Pu. gnach gleicher Richtung wirken, an der Stelle, die am weitesten vom Angriffspunkt der Kraft absteht (also bei Hängesäulen am oberen Ende, bei Säulen am Fuß) am stärksten, undzwar bliothek Heidelberg TCOFC kleinsten am entgegengesetzten Ende, u. zwar ⸗. Wir-Verhältnis VLam größten am Angriffspunkt von P, und zwar am kleinsten am andern Ende des Körpers, und zwar (5 — 10.5 H Für g DP ist das Verhältnis am Angriffspunkte der Last = F E. am andern Ende (XYXI— 9 1 dieser Werth für das Verhältnis 45 —2ů ᷓ 0 „ darf aber, um die Elastizitätsgrenze nicht Bleidraht SE 400000 0,000667 Bronze 640000 0,000629 Eiche in der Richtung d. Faser 220000 [0,01667 „ radial n. d. Jahrringen 2600 — — „ tangential g. d. Jahrr. 1600 — — Eisen gegossen 1900000 (0,000667 „ geschmiedet zu Stäben 4000000 0,000667 Fichte, Kiefer 2c. in der Rich⸗ — „ tangential 1300 — — S 1400000 — — Gold 1600000 0,001667 „ Blechh 2090900 0,000274 „ Draht 22400090 0,001000 Lederriemen 144 — — Stahl, deutscher, gehärtet. 40000000,001198 Um nach dieser Tabelle den Querschnitt, z. B. einer schmiedeeisernen Stange, zu bestimmen, welche 300 em. lang ist u. an welcher 60000 Pfd. hängen, ist zu bestimmen uren P ist hier 60 000; für T ist Sicherheit halber höchstens I/2, also für den schmiedeeisernen Stab 1300 zu rechnen; Y ist für Schmiedeeisen hier 0,, also der Querfchnitt, den die Stange erhalten muß. b) Die E. gegen Schub, Abschérungselastizität, welche z. B. bei Konsolen, Bolzen, Nieten etc. in Frage kommt, wird ähnlich bestimmt wie die vorige. Wenn man unter Ldie Entfernung der Richtungslinien beider bei der Scherung in parallelen Linien, aber einander entgegengesetzt wirkenden Kräfte, unter ! die Verschiebung innerhalb der Elastizitätsgrenze, also unter X, das Verhältnis dieser beiden Größen versteht und für Eden Koeffizienten Caus nachzu überschreiten, höchstens ＋/E werden, oder einfacher: (1 V darf höchstens I werden. Daraus folgt, daß, wenn Pund genach derselben Richtung wirken, F mindestens I sein muß; wenn P und g entgegengesetzt wirken, so ermittle man die Werthe P/T u. E und setze Pgleich dem größten derselben. In der nachstehenden Tabelle nun geben wir die besprochenen Koeffizienten für Zug und Druck, soweit sie bekannt sind, und zwar E, T und A in Pfunden pro qem. Querschnitt, in einem Decimalbruch für L = 1. Wo ein Stern beigesetzt ist, findet ziemlich bedeutende Variation statt. den Zug. Für den Druck. modul Tragmodul drückung. Arbeits⸗ Tragmodul itätsgrenze. 0j210 200 — — — 0,017 50 0/126 400 0,299 360 0,00120 9„% 0,433 1460 0,001333 1½7⁰⁰ 2800 0j,867 2600 0,ooos67 0,830 2800 2,000 4000 — — — — 1/20⁰ 2670 — — — 0,250 300 0,120 155 0,085 500⁰ 0,000250 0,085 500 1,20⁰ 600 — — — —. 0,124 2400 — — 0,364 960 0,/203 3000 — — — ö — 1,44⁰ 3300 — — 14,44(13000 — — — 0,/,190 250 0,050 900 — — — stehender Tabelle einsetzt, so ist PVFC, also setzen; Xist aus voriger Tabelle zu entnehmen. c) Die E. in Bezug auf Biegung, relative Elastizität. Wenn ein prismatischer Stab der Einwirkung von Kräften unterliegt, die normal zu seiner Achse u. in einer Ebene wirken, so werden seine Längenfasern an der Seite, von der aus die Kraft kommt (also z. B. bei einem Balken an der oberen Seite) zusammengedrückt, an der andern ausgedehnt; im Innern aber wird es Fasern geben, die noch in der alten Länge bleiben; ihren geometrischen Ort nennt man die neutrale Faserschicht oder die elastische Fläche; die Kurve, welche diese Schicht bei der Biegung beschreibt, die elastische Linie. Die Durchschnittslinie eines Querschnitts mit der elastischen Fläche, die neutrale Achse, geht stets durch den Schwerpunkt des Querschnitts. Weiteres über Biegung u. Biegungsmoment s. in d. betr. Art. Ist nun, wie in den angezogenen Artikeln, Wdas Mäß des Biegungsmoments des Querschnitts Fin Bezug auf seine neutrale Achse We dasselbe in Bezug auf eine zu jener parallelen Achse und e der Abstand beider Achsen, so ist W =WI＋Fe'. Soll nun in einem solchen Balken Gleichgewicht herrschen, so darf PL höchstens K W/a sein, wenn Pu. Ldieselben Bedeutungen haben wie oben, 2 dieselbe wie in dem Art. Biegungsmoment, K aber ein Erfahrungskosffizient, der Tragmodul für das betr. Material ist. Der Werth W/e für das Widerstandsmoment ist abhängig von der Querschnittsform; dar. s. d. Art. Biegungsmoment. Durch Einsetzen dieser Werthe in die im Art. Biegung gegebenen Formeln für die Biegung d erhält man die Beziehungen zwischen d u. den Dimensionen des Balkens, z. B. für den Querschnitt 1, Fig. 535 u. die Annahme a, im zweiten Fall des Art. Biegung erhält man E. E also, da E. Erfahrungskosffizient ist, Pu. Lsaber durch die Aufgabe gegeben sind, für d das Maximum = 0,oto Lanzunehmen ist, so hat man n oder 250 PLꝰ, woraus man bu. h entwickeln kann, da auch PL 2 also P Ibekannt ist, zaber aus dem Querschnitt leicht gefunden werden kann. Soll nun die Elastizitätsgrenze nicht überschritten werden, so darf die Spannung pro gem. in keinem Punkt das Mäß K überschreiten. Diese Spannung S ist aber 25 wo X die Entfernung des betr. Punktes von der Kraftrichtung ist; da nun ualso höchstens bei den einseitig befestigten, am andern Ende belasteten Balken =LUwerden kann, so ist der höchste Werth für ð nebmen, d. h. PL K. W/e, wie oben erwähnt; die von der Spannung hervorgebrachte Ausdehnung (ist auch hier V. L(. Xin ob. Tab.) und K EEi, die mechanische Arbeit aber M. s. oben). Da nun die Werthe von Wu. W/2 von den Größen u. Formen des Querschnitts, überhaupt vom Volumen Wabhängen, so ergiebt sich ein gleiches für M.; z. B. für den Querschnitt 1, Fig. 535, ist 2 ＝ h/2, also M. — K ——— od. PLbhꝰ 2505 Die schon erwähnte Formel P 56 gilt nur dann allgemein, wenn die Ausdehnung 7-N. Lan den oberen Theilen des Balkens innerhalb der Elastizitätsgrenze der Zusammendrückung in den unteren Theilen gleich ist. Beim Schmiedeeisen trifft dies ziemlich, beim Holz annähernd zu, beim Gußeisen aber nicht, denn wie aus der ersten Tabelle hervorgeht, ist bei diesem E. I viel größer als E-T (u. T tritt hier für K ein); bei derartigen Stoffen untersuche man, welcher von den Quotienten I/3 u. I./3 der kleinere ist, und setze diesen in die Formel P . ein, die andere Balkenhälfte hat dann, da man die Last kleiner erhält, unnöthig großen Querschnitt. Um dies zu vermeiden, giebt man dem Balken N werden, d. h. daß das Verhältnis der größten Abstände der Fasern vom Schwerpunkt gleich ist dem zwischen den Tragmoduln für Zerreißen und Zerdrücken. Da nun beim Gußeisen I/I. = 1460/2800, also annähernd ½ ist, so muß man seinen Querschnitt so gestalten, daß der Abstand des Schwerpunktes von der ausgedehnten Kante halb so groß ist wie von der zusammengedrückten, also bei Befestigung an einem Ende (Krahn, Konsoleetc.) T-förmig, bei Auflage an beiden Enden (Balken etc.) L-förmig; s. d. Eisenbalken. — Folgende Tabelle giebt die Elastizitäts⸗ u. Tragmoduln, soweit sie für die Biegung bekannt sind. Hartes Holz (Weißholz) 17955⁵⁰ 438 Nadelholz (Schwarzholz). 292000 60⁰ Schmiedeeisen 40590(2482 Für die übrigen Körper nimmt man ¾ der Werthe E u. T, resp. I. der ersten Tabelle od., um genügende Sicherheit zu haben, für Eisen ½ I, für die anderen Stoffe ½ bei bewegten Maschinentheilen sowie bei Brückenbalken u. dgl. aber nur /¼½; daraus nun ergeben sich für die am häufigsten vorkommenden Fälle des rechteckigen u. kreisförmigen Querschnitts folgende Werthe: für Schmiedeeisen P = 1000 o00, resp. kg., wobei die Dimensionen in Meter ausgedrückt sind. Aber nicht blos Querschnitt u. Material, sondern auch die Art der Befestigung u. Lastvertheilung hat Einfluß auf die Tragkraft des Balkens. Für die im Art. Biegung angeführten vier Fälle, welche in der Praxis am häufigsten vorkommen, gilt Folgendes: Ist der Balken nur an einer Seite befestigt u. wirkt die Belastung Pan seinem Ende, ist, wie erwähnt, PIL. W/z; ist die Last gleichmäßig vertheilt, so ist der Hebelarm nur =L/2, also PL . — liegt der Balken an beiden Enden frei auf u. ist in der Mitte belastet, so ist PI 4K. W/a; liegt er endlich an beiden Enden auf u. ist gleichförmig belastet, so ist PL = 8K. W/a; ist er hingegen an beiden Enden festgespannt, eingemauert etc., so ist P 8 K Wye für Belastung in der Mitte, für gleichmäßige Belastung aber PL= 12 K W/2. Bei Einmauerung an einem Ende, freier Auflage am andern u. Belastung in der Mitte ist PL= 16/3 K W/a, bei gleichmäßiger Belastung aber ist PL K Ws. Ueber die bei ungleichförmiger Belastung, ungewöhnlicher Vertheilung der Auflagen etc. eintretenden Verhältnisse zu berichten, mangelt hier der Raum u. verweisen wir daher auf die reichhaltige Literatur, namentlich auf Weißbachs und Redtenbachers Werke. d) Ueber den Widerstand gegen Drehung, sowie gegen zusammengesetzte Wirkung von Kräften, s. d. Art. Festigkeit. Wo für Befrechnung der der Elastizitätsgrenze entsprechenden Stärkemäße die Kosffizienten fehlen, berechne man dieselben nach den im Art. Festigkeit gegebenen Regeln. Elaté, m., frz, die Tannenpalme. Elaterit, n., franz. éelatérite, f., bitume m. Elastique, das elastische Bergpech. Helatéromètre, m., frz., der Luftverdichtungsmesser.