Hyper boloid, n., frz. hyperbololde, m., engl. hyperboloid, Eipperbolic conoid, ist 1. der gemeinsame Name für zwei Flächenarten des zweiten Grades. Der einfachere Fall, nämlich der der Rotationshyperboloide, läßt die Verschiedenheit der Formen beider Arten deutlich erkennen. Dreht sich nämlich eine Hyperbel um ihreimaginäre Achse als Drehungsachse, so entsteht als erste Art ein einziger zusammenhängender Flächenzweig, während, wenn sich die Hyperbel um die reelle Achse dreht, zwel kongruente, aber nicht zusammenhängende Zweige für die andere Flächenart entstehen. Man theilt hiernach die H.e in solche mit einer Schale, einem Mantel oder mit einem Fach (franz. à une nappe), und in solche mit zwei Schalen, Mänteln oder Fächern (franz. à deux nappes). Beide erstrecken sich in die Unendlichkeit und jede derselben hat einen Mittelpunkt. I. Das einfächerige oder einschalige H. entsteht in allgemeinerer Auffassung folgendermaßen: In zwei aufeinander senkrechten Ebenen des Raumes seien zwei, im allgemeinen nicht kongruente Hyperbeln verzeichnet, deren imaginäre Achsen aber, in die Durchschnittskante der beiden Ebenen hinein, zusammenfallen. Diese Hyperbeln haben daher der Länge und Größe nach dieselbe imaginäre Achse und ihre Mittelpunkte liegen auf einander in der Durchschnittskante. Die reellen Achsen der beiden Hyperbeln sind im allgemeinen von verschiedener Größe; ihre Lage befindet sich bezüglich in einer der beiden Ebenen u. beide stehen natürlich senkrecht auf der Durchschnittskante; da sich ferner beide in demselben Punkt, dem gemeinsamen Mittelpunkt beider Hyperbeln, schneiden, so liegen sie auch in einer Ebene, welche senkrecht auf der Durchschnittskante steht. Die beiden Hyperbeln kann man als die zwei festen Leitlinien der fraglichen Fläche ansehen. Denkt man sich nun eine Ebene, senkrecht auf der Durchschnittskante sich fortbewegend, so wird dieselbe für jede ihrer Lagen vier SIEIIoTHEE HEIDELBERG O Universitats Punkte auf den beiden Leitlinien bestimmen, durch welche die vier Scheitelpunkte der beiden Achsen einer Ellipse bestimmt sind; mit anderen Worten: man kann nur eine Ellipse als Erzeugungskurve sich so fortbewegen lassen, daß ihr Mittelpunkt in der Durchschnittskante bleibt und ihre Ebene senkrecht auf der Durchschnittskante steht, während ihre große und kleine Achse durch die Durchschnittspunkte ihrer Ebene mit den beiden festenHyperbeln bestimmt werden. Die Gesamtheit aller Peripherien dieser Ellipsen bildet die verlangte Fläche. Ist der Mittelpunkt der beiden Hyperbeln der Anfangspunkt von rechtwinkligen Punktkoordinaten, bestimmt ferner die Lage der imaginären Achse, deren Länge 26 ist, die Koordinatenachse der 2, während die beiden reellen Achsen von den Größen 2a und 2b ihrer Lage nach die Achsen der & und der angeben, so hat man als des H.8 Die Ebene, in welcher die beiden reellen Achsen 2a und 25 liegen, ist hierbei die Koordinatenebene der Xy und giebt als Durchschnitt mit der Fläche die kleinste Erzeugungsellipse, welche man die Kehlellipse nennt; dieselbe hat die Achsen 22 und 2b. Sind die beiden festen Hyperbeln kongruent, ist daher auch a b, so hat man den Fall des einfächerigen Rotationshyperboloides, bei welchem die Erzeugungskurve eine Kreislinie geworden ist. In der Einleitung zu diesem Artikel ist dieser Umdrehungshyperboloide miteiner andern Entstehungsweise gedacht worden. Auf jedem einfücherigen H. lassen sich durch jeden Punkt desselben zwei gerade Linien ziehen, welche ganz in die Fläche hineinfallen. Es giebt überhaupt zwei Systemevon geraden Linien, die alle in die Fläche hineinfallen; das eine derselben hat folgende Gleichungen: das andere dagegen: wobei mjeden beliebigen Werth haben kann. Jede Gerade des einen Systems schneidet keine einzige desselben Systems, aber alle Geraden des andern Systems; alle Geraden beider Systeme schneiden die Kehlellipse und man kann die Fläche selbst als die Gesamtheit der Geraden jedes einzelnen dieser Systeme ansehen. Aus dieser Eigenschaft folgt, daß das einschalige H. zu den geradlinigen windschiefen Flächen gehört. Es führt daher auch die Namen geradlinig und windschief, die der andern Art nicht zukommen. Ueber die Benennung derselben Fläche als hyperbolisches H. s. d. Art. hyperbolisch 4.; dieselbe ist weniger empfehlens werth als die des einschaligen oder einfächerigen, weil bei der Entstehung beider Hyperboloidarten Hyperbeln und Ellipsen als Durchschnittskurven vorkommen können. II. Das zweifächerige oder zweischalige H. kann in ähnlicher Weife wie das einschalige durch die Bewegung einer Ellipse entstanden gedacht werden, nur sind bei ihm die festen Leitlinien, obgleich sie ebenfalls Hyperbeln sind, so beschaffen, daß die beiden reellen Achsen in der Durchschnittskante der beiden senkrechten Ebenen zusammenfallen, während jede der imaginären Achsen bezüglich in einer der Ebenen liegt und senkrecht auf der Durchschnittskante steht. Ist 26 die Größe der gemeinsamen reellen Achse, deren Lage in der Durchschnittskante die Achse der angiebt, während der Mittelpunkt der beiden festen Hydie Achse der X und der y durch die Lage der beiden imaginären Achsen von den Längen 2 und 2b bestimmt, so wird die Gleichung der Fläche: Sbibliothe Heidelberg Die Fläche besteht, wie schon in der Einleitung gesagt wurde, aus zwei gesonderten kongruenten Zweigen. Bei ihr, wie bei dem einschaligen, sind die Erzeugungsellipsen bei der Entstehung der Flächen in ihren verschiedenen Lagen ähnliche Kurven, d. h. das Verhältnis zwischen der großen und kleinen Achse ist für jede Lage gleich a: b. — Das zweischalige H. wird eine Umdrehungsfläche, wenn die beiden festen Hyperbeln in den Koordinatenebenen kongruent sind, oder wenn à H b ist, die Erzeugungsellipse nimmt dann Kreisform an. Auf dem zweischaligen H. lassen sich keine geraden Linien ziehen, welche in dasselbe vollständig hineinfallen; wegen einer im Art. hyperbolisch 4. angegebenen Eigenschaft wird dasselbe auch elliptisches H. genannt, doch gilt auch hier das unter I. am Schluß Gesagte. III. Das einschalige H. hat in allen seinen Punkten konkav-konvexe Krümmungsverhältnisse (vergl. d. Art. Fläche V.); es enthält daher auch keine Nabelpunkte; das zweischalige dagegen hat gar keine konkav-konvexen Punkte, aber 4 Nabelpunkte. Beide Flächen können ferner durch Ebenen so geschnitten werden, daß die Durchschnittskurven Kreislinien sind oder, mit anderen Worten: sie geben Kreisschnitte. Denkt man sich die beiden H.e, welche in I. u. II. durch ihre Gleichungen ausgedrückt wurden, bei einem einzigen Koordinatensystem verzeichnet, so ist jede der beiden festen Hyperbeln des einen H.s konjugirt (s. Hyperbel VI.) zu einer der beiden festen Hyperbeln des H.s. Es giebt alsdann eine Kegelfläche, die der Asymptotenkegel der beiden Hle heißt, und welcher sich beide Flächen immer mehr nähern, ohne sie zu erreichen. In dieser Kegelfläche, deren Gleichung ist, liegen auch die Asymptoten der beiden festen Hyperbeln; die Spitze der Kegelfläche fällt in den Anfangspunkt des Koordinatensystems, mit dem Mittelpunkt für jedes der beiden Hle zusammen. IV. Der Name „Hyperboloid“ ist ebenso wie Ellipsoid und Paraboloid nicht glücklich gewählt, da in der Endung „oid“ der Begriff der Aehnlichkeit liegt. Viel entsprechender wäre der Name „Hyperbolid, Ellipsid, Parabolid“, weil die Endung „id“ den Begriff des Erzeugtseins ausdrückt und man dabei an die Umdrehungsflächen dieser Arten erinnert würde; ist doch z. B. ein Umdrehungs-H. eine durch eine Hyperbel bei ihrer Umdrehung erzeugte Fläche. — 2. Zuweilen nennt man die Hyperbeln höherer Art (und vielleicht, nach dem unter IV. Gesagten, nicht mit Unrecht) H.e; s. d. Art. hyperbolisch 1.