Kettenbruch, m. (Math.), frz. fraction f. continue, engl. Continuated fraction, ist ein Bruch, dessen Nenner aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht, dessen Nenner wiederum auf dieselbe Weise zusammengesetzt ist u. s. f. Diese Verkettung kann ins Unendliche fortgehen oder irgendwo abbrechen. Danach heißt der K. ein unendlicher oder ein endlicher. In den meisten zur Anwendung kommenden Fällen sind die Zähler der Einheit gleich, Die Kettenbrüche sind von Nutzen, 1. wenn man numerische Brüche mit großem Zähler u.Nenner od. vielstellige Decimalbrüche möglichst genau in kleineren Zahlen ausdrücken will. Die Verwandlung eines Bruches in einen K. geschieht auf folgende Weise: Es sei z. B. der Bruch 427 in einen K. zu verwandeln. Man dividire Zähler und Nenner durch den Zähler, so wird der Bruch gleich e Ebenso verfährt man mit dem neuen Bruch 19 ö 2 welcher wird = 1 und mit dem Bruch 135 E 19 HEIDELBERG O Universitatsb — 9＋ 1. Die Aneinanderfügung aller dieser Brüche giebt dann den mit gleichwerthigen K.: Umgekehrt wird ein K. in einen gewöhnlichen Bruch verwandelt, wenn man den letzten gemischten Nenner auf die gewöhnliche Bruchform bringt, den neuen gemischten Nenner ebenso behandelt und so fortfährt. Im vorliegenden Fall würde die Rechnung sich wie folgt gestalten: Wenn man den K. früher abbricht als dort, wo er es von selbst thut, so erhält man einen Näherungswerth desselben. So würden im vorliegenden Fall die Näherungswerthe sein: von denen der erste zu groß, der zweite zu klein, der dritte wieder zu groß ist u. s. f. Hier würde bereits der zweite Näherungsbruch 22 om wahren Werth nur um etwas über 5000 abweichen und man könnte daher, wenn nicht große Genauigkeit nothwendig ist, 435 durch den viel bequemeren Werth 25 ersetzen. — Ist überhaupt 5 einer der so berechneten Näherungswerthe, so ist seine Abweichung vom wahren Werth kleiner als 52• Um einen Deeimalbruch in einen K. zu verwandeln, bringt man ihn auf die Form eines gewöhnlichen Bruchs und verfährt mit ihm wie vorher. Auf diese Weise ergeben sich z. B. für die Ludolphsche Zahl & 3,1415926536 die Näherungswerthe: wo schon der vierte Bruch eine Genauigkeit auf Decimalstellen giebt. — 2. Auch behufs genauer Konstruktioneines Winkels von gegebener Größe kann man die Kie sehr gut zu Hülfe nehmen. Wollte man jene Konstruktion einfach mit Hülfe des Transporteurs ausführen, so würde man dabei doch leicht einen Fehler von mehreren Minuten begehen und somit die in vielen Fällen nöthige Genauigkeit nicht erreichen. Hier würde sich ein Verfahren empfehlen, welches den Winkel aus seiner trigonometrischen Tangente konstruirt. Diese findet man aus den Tafeln in Form eines Decimalbruchs, den man nach der angegebenen Methode bibliothek Heidelberg in einen K. zu verwandeln hat, um Rcher einer Mitnahme von 4—5 Gliedern einen sehr genauen Näherungswerth für die Tangente zu erhalten. So erhält man: te bis auf 40 Sekunde genau. Macht man daher in 18⁵ einem rechtwinkligen Dreieck die eine Kathete 26, die andere 185 Längeneinheiten gleich, so erhält man an der letzteren den Winkel von 8.