Logarithmus, m., franz. Iogarithme, m., engl. Jogarithm, einer Zahl ist der Exponent derjenigen Potenzeiner andern gegebenen Zahl, der sogen. Basis, welche der ersteren gleich ist. Ist also bX = , so ist X der L. von a bei der Basis b, od. in den gewöhnlichen Zeichen X = d log a. Ist also z. B. b. = 3, so ist log 9 2, weil 3. — 9. Eine jede Zahl kann natürlich, je nach dem Werth der Basis, sehr verschiedene Logarithmen haben, jedoch ist klar: 1. daß der L. der Einheit =Oist, weil für jeden Werth von bsichergiebt: b² = 1; 2. daß der L. der Basis gleich der Einheit ist, weil br =b; 3. daß bei einer Basis, größer als die Einheit, die Logarithmen aller Zahlen, welche die Einheit übersteigen, positiv sind; 4. daß unter derselben Voraussetzung alle Zahlen, welcher kleiner als die Einheit sind, negative Logarithmen haben; 5. daß der L. einer großen Zahl positiv &, der Null dagegen negativ unendlich ist. Nur in sehr seltenen Fällen wird der L. einer Zahl eine ganze od.eine rationale gebrochene Zahl sein, vielmehr fast stets ein unendlicher Decimalbruch. — Alle Rechnungen,‚ welche mit Logarithmen ausgeführt werden, lassen sich am vortheilhaftesten mit dem L. für die Basis 10 aus-1 führen. Diese, die gemeinen oder briggischen Logarithmen, findet man in den gebräuchlichen Tafeln für alle Zahlen bis 10000 od. 100000, bis auf 5 od.? Decimalstellen, genau zusammengestellt. Diese Tafeln geben den L. jeder beliebigen Zahl, bis auf eine ganze Zahl, welche man noch vorzusetzen hat u. die Kennziffer od. Charaßteristik heißt. Dieselbe ist gleich der Anzahl der die Ganzen der gegebenen Zahl ausdrückenden Ziffern. Die in den Tafeln zu findenden Decimalstellen heißen die Mantissen und sind die nämlichen für alle Zahlen, welche aus denselben Ziffern bewelchem Fall die Mantisse ist: 93 283, so daß man hat: Diese nur dem briggischen System eigenthümliche Eigenschaft der Mantisse vereinfacht bedeutend die Zusammenstellung der Logarithmen in Tafeln. Ueber die Einrichtung derselben sowie über die Art u. Weise, zu einer Zahl den L. u. zu einem L. die Zahl zu finden, sind den meisten derselben die nöthigen Erläuterungen beigefügt, so daß wir auf dieselben verweisen können. Der große Vortheil, den die Anwendung der Logarithmen beim Rechnen gewährt, beruht auf folgenden vier Sätzen: 1. Der L. eines Produkts ist gleich der Summe aus den dogarithmen der einzelnen Faktoren; also 1og(BOD.) Beispiel: Es soll 857 4 3¾ gefunden werden. und das Produkt selbst 2956,. 2. Der L. eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen des Zählers und des Nenners; also log 5 log A — log B. Beispiel: S zu finden. und der Quotient selbst 21,380· 3. Der L. einer Potenz ist gleich dem L. der Basis, mal dem Exponenten; also 10g (an) = u log a. 4. Der L. einer Wurzel ist gleich dem L. der gegebenen Zahl, dividirt durch den Wurzelexponenten. Beispiel: / 1738000 zu finden. Um aus den Logarithmenzweier Zahlen den ihrer Summe od. Differenz finden zu können, hat Gauß Additions⸗ und Subtraktionslogarithmen berechnet, welche auch in mehrere Logarithmustafeln mit aufgenommen worden sind. Aus dem Werth, welchen der L. einer Zahl bei einer Basis a annimmt, kann man seinen Werth bei einer andern Basis b finden durch die Formel: — Dabei heißt = 10 5 der Modulus des Logarithmensystems mit der Basis b in Bezug auf dasjenige mit der Basis a. B. Die natürlichen od. hyperbolischen Logarithmen, deren Basis die Zahl e 2,1srs1s . ist, bezeichnet man gewöhnlich mitlog nat. Ihr Name „hyperbolische Logarithmen“ rührt daher, weil mit ihrer Hülfe die Buadratur der Hyperbel vollzogen werden kann. Die Berechnung einer Logarithmentafel würde, wenn man sie auf dem zunüchstliegenden Weg durch successive Wurzelausziehungen ausführen wollte, ungemein mühsam fein. Die Analysis bewirkt das viel einfacher durch Entwickelung unendlicher Reihen für den L., welche gerade für den natürlichen L. die einfachste Gestalt annehmen: log nat (1 welche Reihe aber nur brauchbar ist, um die Logarithmen der von der Einheit wenig abweichenden Zahlen zu finden. Ferner ist was auch zu Berechnung der Logarithmen größerer Zahlen dient. Aus dem natürlichen L. einer Zahl ergiebt sich der gmeine durch Multiplikation mit dem Faktor dem sogen. Modull des Briggschen Systems. Umgekehrt ergiebt sich der natürliche L. aus dem künstlichen durch die Formel log nat X ＝ 2,oesss 10g X.