ferner, ob sie alle parallel laufen, oder ob es nur eine einzige Durchmesserebene giebt, die allen Richtungen der Secanten zugeordnet ist. — Hat z. B. eine Flächengleichung für einen bestimmten Anfangspunkt der Koordinaten nur Glieder von gerader Dimension, d. h. ist für alle Glieder die Summe der Potenzexponenten der in denselben vorkommenden allgemeinen Koordinatenwerthe eine gerade Zahl, so ist der Anfangspunkt der Koordinaten stets ein Mittelpunkt der F.; außerdem kann es aber noch unendlich viele andere Mittelpunkte geben, die alle in einer geraden Linie liegen, welche durch den Anfangspunkt läuft. Jede Gerade, die durch den Anfangspunkt gezogen wird, trifft die F. dann in Punkten, die symmetrisch auf ihr liegen, so daß, wenn z. B. ein Durschnittspunkt nach der einen Richtung in der Entfernung àa von dem Anfangspunkt der Koordinaten liegt, auch ein anderer Durchschnittspunkt derselben Entfernung nach der entgegengesetzten Richtung zu liegt. Eine so beschaffene F. mit einem Mittelpunkt wird durch jede Durchmesserebene in zwei kongruente Theile getheilt, deren einer in die obere der Raumabtheilungen, in welche der Raum durch diese Ebene getheilt ist, fällt, während der andere in der unteren Raumabtheilung liegt. IV. In Bezug auf eine der Koordinatenebenen heißt ein Punkt einer F. ein Maximum oder Minimum, wenn die Senkrechte, die man von diesem Punkt nach der Koordinatenebene fällt, und zwar bis zu ihrem Fußpunkt in der letzteren gerechnet, bezüglich größer oder kleiner ist, als die Senkrechten aus den sämtlichen Nachbarpunkten der F. Jede Senkrechte ist eine der Koordinaten des Maximum⸗ oder Minimumpunktes; dabei werden die Längen der Senkrechten nicht absolut gerechnet, sondern relativ, so daß, wenn die Koordinatenwerthe negativ genommen werden, auch die, absolut genommen, längere Senkrechte für die kleinere gilt. In ähnlicher Weise kann man von einem Maximum oder Minimum in Bezug auf eine beliebige Ebene sprechen, indem man diese Ebene als eine der Koordinatenebenen ansieht; derartige Punkte sind von der Lage der Ebenen, in Bezug auf welche sie genommen werden, überhaupt abhängig; bei anderer Lage derselben werden andere Punkte zu einem Maximum od. Minimum. Unter Komplanation einer F., vielmehr eines bestimmten Stücks einer F. versteht man die Bestimmung einer ebenen Figur, die einen ebenso großen Flächenraum besitzt; man denkt sich dabei dies Stück der F. aus lauter unendlich kleinen ebenen Flächenstücken gebildet, ähnlich wie man die Kurven als aus unendlich vielen, unendlich kleinen geraden Linien gebildet denkt; die Summe der ebenen Flächenelemente, welche mit Hülfe der Integralrechnung gefunden wird, giebt dann den Ausdruckfür die Komplanation. Die elementare Geometrie beschäftigt sich nur mit der Komplanation der Kugel, der Kugelzonen, der Mäntel gerader vollständiger oder abgestumpfter Kegel re. Man sieht, daß das Resultat der Komplanation gleichfalls nur von der F. und dem Stück auf derselben, das betrachtet werden soll, abhängt und von den Koordinatenebenen unabhängig sein muß, d. h. jedes beliebige Koordinatensystem muß stets dasselbe Resultat für die Komplanation eines und desselben Flächenstücks ergeben. Unter Kubatur oder Kubirung einer F. versteht man die Bestimmung eines von der F. begrenzten Körpers. Bei den gewöhnlichen Koordinaten wird durch Integralrechnung der Kubikinhalteines Körpers gefunden, der einem geraden Parallelepipedon ähnlich ist und zur Begrenzung zwei Ebenen hat, welche der einen Koordinatenebene parallel laufen, zwei mit der andern parallele, ferner die dritte Koordinatenebene und das Flächenstück. Bei Benutzung von Polarkoordinaten kann man den Körper, welcher von der durch die Begrenzungskurve des Flächenstücks und dem Anfangspunkt der Koordinaten als Scheitel bedingten Kegelfläche sowie von dem Flächenstück selbst begrenzt ist, ermitteln. V. Die Krümmungsverhältnisse einer F. für einen bestimmten Punkt derselben betrachtet man mit Hülfe ebener Kurven, welche man erhält, wenn man sich die F. durch Ebenen geschnitten denkt, die durch den Punkt hindurchgehen. Indem man die Krümmungshalbmesser aller so entstehenden Schnittkurven vergleicht, erhält man ein Bild der Krümmung der F. im betr. Punkt. Die analytische Geometrie zeigt, daß es schon hinreicht, nur diejenigen Ebenen zu betrachten, welche durch die Normale des Punktes der F. hindurchgehen und deren Durchschnitte mit der F. Kurven geben, die Normalschnitte heißen. Nach Euler giebt es zwei Normalschnitte für jeden Punkt der F., von denen der eine den größten, der andere den kleinsten Krümmungshalbmesser von allen Normalschnitten hat; dabei ist jedoch nur auf den relativen Werth dieser Halbmesser Rücksicht genommen, d. h. ein negativer Wertheines solchen Halbmessers, der mithin in der der positiven Richtung entgegengesetzten Seite der Normale liegt, ist als kleiner anzusehen als ein auf der positiven Seite hin liegender. Aus den Werthen dieser beiden besonderen Krümmungshalbmesser, Hauptkrümmungshalbmesser gen., so- wie ihrer zugehörigen Schnittkurven, die Hauptschnitte oder Hauptnormalschnitte heißen, läßt sich auch der Krümmungshalbmesser für jeden andern Normalschnitt berechnen, sobald man nur den Winkel kennt, unter dem die Ebene dieses Normalschnittes gegen die eines der Hauptnormalschnitte gerichtet ist. Ebenso läßt sich der Krümmungshalbmesser für einen Schnitt, der nicht durch die Normale geht, mit Hülfe des Krümmungshalbmessers für