parallel laufenden Tangenten, da die Tangente im Endpunkt eines Durchmessers mit dem zu diesem gehöriger System von Sehnen parallel läuft. — Bezieht man die P. auf ein neues, aber schiefwinkliges Koordinatensystem. dessen eine Achse ein Durchmesser und dessen andere Achse die Tangente in seinem Endpunkt ist, so ist ihre neue Gleichung wieder von der Form y2 ＝ 2 p X, wobei p einen andern Werth hat als das frühere. Man nennt es wohl auch den Nebenparameter. Die gerade Linie, welche Pol von dieser. Wenn man dieselbe kennt, sind sofort auch die beiden Tangenten, welche von jenem Punkt aus an die P. möglich sind, gegeben. Sind nun x., v die Koordinaten des Poles, so ist die Gleichung der zugehörigen Polaren VVPEH＋x), also ganz ebenso, wie die Gleichung der Tangente in einem Punkt &, nur daß bei letzterer dieset Punkt stets in der Kurve liegt. Daher schneidet auch die Polare die Achse in einem Punkt, dessen Entfernung vom Scheitel eben so groß ist, wie der Abstand des Poles von der Scheiteltangente. Auch ist sie parallel zu dem System von Sehnen, welches zu dem durch den Pol gehenden Durchmesser gehört. Durch diese beiden Eigenschaften ist die Polare bestimmt u. zugleich die Aufgabe gelöst, von einem beliebigen Punkt aus an eine P. Tangenten zu legen; wenn der Pol im innern Raum der P. liegt, bleibt die Polare zwar reell, schneidet aber die P. nicht. V. Dusch vier beliebige, in einer Ebene liegende Punkte sind zwei Pen möglich; die P. ist daher durch vier ihrer Punkte nurzweideutig bestimmt, dagegen vollständig durch vier Tangenten, a b, 2c, dh, Eg (Fig. 2761). Man wähle unter denfelben zwei aus, z. B. a b u. ae½ d u. k seien die Punkte, welche die eine von beiden mit den zwei übrigen ei Tangenten gemein hat, hu. g entsprechend für die andere. kt Hierauf trage man auf ab von haus die Strecke hg bese liebig oft auf, ebenso, aber nach der andern Seite, von f naus auf ac die Strecke d4. Die Verbindungslinien entsprechender Theilpunkte, z. B. 1 I, 2IL re., geben sodann ie Tangenten der P. Sind diese nicht genügend dicht, so braucht man nur df u. hg in eine gleichgroße Anzahl n. gleicher Theile einzutheilen u. mit letzteren ebenso zu verie fahren, wie vorher mit der ganzen Länge. 1, V.. Der Flächeninhalt von Parabelsegmenten ist, wie se bereits Archimedes gefunden hat, gleich ½/ des Parallelo⸗ „gramms, dessen eine Seite die Basis des Segments bildet, nwährend die gegenüberliegende in die zu dieser parallele Tangente fällt und die anderen beiden Seiten durch die eEndpunkte der Basis parallel zu der Achse laufen. (Also „in Fig. 2762 Segment ABE A BOD.) Die P. ist „daher eine der wenigen krummen Linien, welche sich alge⸗ „braisch genau quadriren lassen. Der angegebene Satz wird bei der Aufstellung der Simpfon schen Regel benutzt, welche dazu dient, den von einer beliebig gestalteten krummen Linie begrenzten Flächeninhalt annäherungsweise zu berechnen (s. d. Art. Simpsonsche Regeh). VII. Es folgen hier noch einige einfache Konstruktionen der P. 1. Eine solche ergiebt sich aus der Definitionsgleichung. Gegeben sei der Brennpunkt k u. die Direktrix kI (Fig. 2767). Man ziehe zu der letzteren irgend eine parallele Linie hoi und beschreibe mit dem Abstand gi derselben von der Direktrix als Halbmesser um k einen Kreisbogen, welcher jene Parallele in hu. ischneiden möge. Alsdann sind h u. 1 Punkte der P. 2. Man errichte im Abstand 0 = 2p (Fig. 2763), also gleich der vierfachen Brennweite, vom Scheitel die feste Gerade 4 B senkrecht zur Achse. Wird dann durch den Scheitel O die gerade Linie OMirgendwie gelegt, darauf O5 senkrecht errichtet u. zuletzt EMparallel zu der Parabelachse O & gezogen, so liegt auf der P. 3. Man trage aus dem Scheitel O (Fig. 2764) die beliebig angenommene Abseisse O Peines zu konstruirenden Parabelpunktes auf der Achse rückwärts nach Lund beschreibe um den Brennpunkt Fmit EW als Radius einen Halbkreis. Alsdann wird die Ordinate PM durch denselben in einem Parabelpunkt Mgeschnitten (Fig. 2764). Diese Konstruktion zeichnet sich dadurch aus, daß man die Tangente Mu. die Normale MN des Punktes M zugleich mit erhält, wobei Nder Punkt ist, in welchem der Halbkreis die Achse nochmals, außer in , schneidet. 4. Es sei statt des Brennpunktes ein Punkt Mder P. gegeben (Fig. 2765). Man theile die Ordinate P und die Abscisse MN jenes Punktes in eine gleichgroße Anzahl gleicher Theile. Durch die Theilpunkte der ersteren ziehe man Parallelen zur Achse, diejenigen der letzteren dagegen verbinde man mit dem Scheitel O. Alsdann liegen die Durchschnittspunkte entsprechender gerader Linien (z. B. O u. IJ, ½ in der gesuchten P. Die dieser Konstruktion zu Grunde liegende Eigenschaft der P. kann man in Worten so ausdrücken: Wenn die Ordinaten wachsen wie 1, 2, 3, 4, 5, 6, so wachsen die Abseissen wie 1, 4, 9, 16, 25, 36, also wie die Quadrate der Ordinaten. 5. Gegeben sei die Achse am (Fig. 2758) und die Brennweite; diese Brennweite trägt man vierfach auf die Achse von à nach &auf. Nun beschreibt man mehrere Kreise, deren Mittelpunkte auf der Achse liegen und die fämtlich durch e gehen, in den Schnittpunkten n, 0 etc. dieser Kreise mit der Achse zieht man die Tangenten bou, urus; in den Schnittpunkien w, 2, V, X der Kreise mit der Scheiteltangente errichtet man