Epicykloide, k., frz. epicycloide, f., engl. epicycloid (Mathem.), ebene Kurve, welche ein bestimmter Punkt eines Kreises beschreibt, während sich der Kreis auf der Peripherie eines andern als fest angenommenen Kreises an dessen Außenseite fortwälzt. Mitunter nennt man auch die Kurve so, welche entsteht, wenn der rollende Kreis nach innen zu auf der Peripherie fortrollt (besser hypocykloide, s. d.), und unterscheidet dann äußere (oder obere) E., frz. 6. extérieure, supérieure, engl. exterior, upper e., die eigentliche E, und innere (oder untere), oder Hypocykloide. I. Der feste Kreis heißt Grundlinie od. Basis der E., der rollende der Erzeugungskreis. Nimmt man den Mittelpunkt des festen Kreises zum Anfangspunkt der rechtwinkligen Koordinaten, so hat die E. folgende Gleichungen: wo r der Radius des festen und a der des rollenden Kreises ist. Giebt man hier t einen bestimmten Werth, so erhält man die Werthe für X undy und daraus einen bestimmten Punkt der Kurve. Haben die Werthe ru. à ein rationales Verhältnis zu einander, so wird die Kurve eine zurückkehrende, wenn sie auch vielleicht erst, nach dem der rollende Kreis mehrmals den Umfang der Basis durchlaufen hat, zurückkehren kann. Ist dagegegen das Verhältnis zwischen rund a irrational, 3. B. r/ oder a/ 3, so kehrt die Kurve nie in ihre früheren Lagen zurück. II. Aus der Entstehungsart der E. ergiebt sich folgende genaue Konstruktion einzelner Punkte derselben. Es sei Fig. 1625o der Mittelpunkt des festen Kreises, oeine Lage des Mittelpunktes des Erzeugungskreises, m der Berührungspunkt beider Kreise, gleichzeitig der feste Punkt des Erzeugungskreises, für welchen die Kurve bestimmt werden soll: also mo r, em a. Man ziehe durch o die beliebige Linie on; der Winkel mon sei =t u. werde gemessen. Man verlängere o n um n½ a u. trage an mache dann onp ⸗ a, so ist p ein Punkt der Kurve, die gleichzeitig durch geht. Für verschiedene Werthe von t u. somit a erhält man auch verschiedene Punkte der Kurve. III. Eine annähernde Konstruktion mit Hülfe einzelner Kreisbogen ergiebt sich auf folgende Art (Fig. 1626). Das Verhältnis des Radius des festen Kreises zu dem des Errollen beschreibt, nennt man, ähnlich wie bei der Cykloide, eine gedehnte E., u. diejenige, welche ein Punkt in der Verlängerung eines Radius außerhalb des Erzeugungskreises beschreibt, eine verkürzte E. V. Die Ern spielen eine große Rolle bei Bestimmung der Form der Zähne von in einander greifenden Maschinenrädern. Berührt das eine Rad das andere von außen, so findet dann ein epicykloidisches Fortrollen statt; dreht sich das eine Rad innerhalb des andern, so ist das Fortrollen hypocykloidisch. S. auch Cardioide und Evolute.