Fünfziger, m., s. Bauholz F. I. i.; fünfziger Sparren, s. Bauholz F. I. K. u. I. wird in der Arithmetik ein Ausdruck gen., wenn derselbe seinen Werth ändert, sobald man der Größe selbst verschiedene Werthe beilegt; so ist der Ausdruck 3X ＋4 eine F. von X. Aehnlich giebt es F.en von mehreren Größen, die verschiedene Werthe annehmen können; der Werth, den die F. für bestimmte Werthe dieser Größen annimmt, heißt der Funktionswerth. I. Eine F. kann aus mehreren Gliedern bestehen, die unter einander durch Addition od. Subtraktion verbunden sind. Diejenigen Größen, welche in einer F. stets denselben Werth beibehalten, nicht veränderlich sind, nennt man Konstanten; sie werden meist, wenn sie nicht als reine Zahlen erscheinen, wie in dem Beispiel 3 X ＋ 4, durch die ersten Buchstaben des Alphabets bezeichnet, während die Größen, die verschiedene Werthe erhalten können und Veränderliche oder Variabeln heißen, durch die letzten Buchstaben bezeichnet werden; dabei unterscheidet man derartige veränderliche Größen, welche ganz beliebige Werthe annehmen können, als unabhängig Veränderliche von anderen, die von den Werthen jener wieder abhängen u. abhängig Veränderliche heißen. „So ist bei dem Funktionswerth y 3X ＋E4X die unabhängig Veränderliche und y die abhängig Veränderliche. So ist für eine bestimmte Kurve, deren Gesetz bekannt ist, wenn man die Abseisse als unabhängig Variable ansieht, die Ordinate die abhängig Variable, und die Art der F. ist durch das Gesetz der Kurve bestimmt. — Daß eine Größe, 3.B. Y, eine F.einer andern Größe, etwa von x/sei, deutet man durch ein der letzteren vorgesetztes Funktionszeichen an (meist von X, y hängt von x ab; wie diese Abhängigkeit beschaffen ist, muß für bes. Fälle dann näher angegeben werden. II. Je nach der Anzahl der unabhängigen Veränderlichen unterscheidet man Ften von einer, zwei, drei unabhängig Veränderlichen etc. Wie die Ordinate einer Kurve die F. iglit / mothes 1882bdꝰ?/0394 einer unabhängig Veränderlichen, nämlich der Abseisse ist,‚ so ist bei einer Fläche eine der Koordinaten die F. zweier unabhängig Veränderlichen, nämlich der beiden anderen Koordinaten, indem man den beiden letzteren bestimmte Werthe beilegen muß, um die ersterwähnte Koordinate zu bestimmen u. dadurch einen, resp. mehrere ganz bestimmte Punkte der Fläche zu erhalten. Im besonderen theilt man die F.en mit einer Unabhängigen in einfache und zusammengesetzte. Unter die einfachen Fen rechnet man für die Unabhängige die F.en: m, a, log x u. die trigonometrischen: sin x, os Xꝰc. (s. unter IV.). Die zusammengesetzten Flen bestehen entweder aus mehreren Gliedern, od. es erscheinen in ihnen einzelne solcher Theile, aus denen auch dieeinfachen Fen bestehen, komplizirter; so sind axX ＋log x od. xXa Ebæ zusammengesetzte. Eine F. kann auch als eine F.einer andern erscheinen; so ist sin (a bx) eine F. von a ＋bx, welches letztere wieder eine F. von mist. Eine F. heißt explicit oder gesondert, wenn man aus den Werthen der unabhängig Veränderlichen unmittelbar den Werth der abhängigen Veränderlichen erhält; so z. B. Yax ＋bX, oder bei zwei unabhängig Veränderlichen 2 ax ＋by (a und b sind Konstante). Im Gegensatz heißt eine F. implicit oder ungesondert, wenn man nach Einsetzen der Werthe für die unabhängig Veränderlichen die abhängig Veränderlichen erst mit Hülfe einer Gleichung ermitteln kann; z. B. aXDXYECVYEEGNο der Werth von y, z. B. für X 3, muß erst durch ga 3byHAey-＋Ed-o gefunden werden. Ferner unterscheidet man nach Form u. Zusammensetzung der einzelnen Theile, welche die F. bilden: ganze Funktionen, welche einfache Binom⸗ oder Polynomform haben, oder bei welchen die Glieder durch od. — verbunden sind; so für explicit: vabx oder ysin XEax, für implicit: axyb sin X＋E＋ o. Im Gegensatz steht die gebrochene Funktion, bei welcher ein Dividend u. ein Divisor vorhanden ist, die beide mehrgliederig sein können, so z. B.: Größen in der Art, daß er weder Form noch Art ändert, wenn man jedes beliebige Par dieser Größen mit einander vertauscht, so nennt man denselben eine symmetrische Funktion dieser Größen. So ist z. B. eine symmetrische F. von X, v, 2, denn man kann ohne wirkliche Aenderung an Stelle von yund gleichzeitig ystattx setzen, X mit 2 od. ymit 2 vertauschen. Ueber symmetrische F.en der Wurzeln bei Gleichungen s. Gleichung VII. III. Nach der Art, wie die Veränderlichen in der F. vorkommen, unterscheidet man: algebraische Funktionen, bei welchen die Veränderlichen nur in der Basis von Potenzen od. Wurzeln, deren Exponenten bekanntsind, vorkommen, z. B.y bXEe; ähnlich kann man implicite und gebrochene algebraische Fen bilden. — Im Gegensatz kommen bei transcendenten Funktionen die Veränderlichen auch in den Exponenten od. als Logarithmanden sowie in Form von trigonometrischenF.en auch hier giebt es implicite u. gebrochenetranscendente F.en. Die algebraischen Fren zerfallen ferner in rationale, bei welchen die Veränderlichen nur in der Basis von ganzen Potenzen auftreten, und in irrationale, wo dieselben auch in der Basis von Wurzelgrößen auftreten. So ist Yyub＋ex eine rationale F., gleichzeitig eine ganze; dagegen ist y — — eine irrationale und zugleich gebrochene F. Aehnlich kann man auch explicite Fren dieser Art bilden. Eine algebraische F. mit mehreren Veränderlichen heißt homogen, wenn für jedes Glied derselben die Exponenten der Potenzen der Veränderlichen in HEIDELBERG O Universitatsb ihrer Summe denselben Werth geben; nach dem Summenwerthunterscheidet man homogene F. en vom ersten, zweiten Grad etc.; so ist aX ＋bXY＋Cye eine homogene F. vom zweiten Grad. IV. Trigonometrische F.en sind im besonderen: Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens, Secans, Cosecans, Sinusversus u. Cosinusversus. Mehr s. unter Trigonometrisch