Geometrie, k., frz. géométrie, f., engl. geometry, ist die Wissenschaft, welche sich mit dem Raum beschäftigt; sie betrachtet als Unterabtheilung der allgemeinen Größenlehre oder Mathematik die stetigen Größen; Punkte, Linien, Flächen u. Körper, die man unter dem Namen der räumlichen Gebilde zusammenfaßt, sind ihr Gegenstand. Die G. geht von bestimmten Erklärungen od. Definitionen aus, nimmt dabei einige Beziehungen als feststehend an, die Grundsätze oder Axiome genannt werden, und sucht mit Hülfe dieser neue Beziehungen zu ermitteln. Dabei wird eine neu aufgefundene Beziehung für richtig u. feststehend angesehen, wenn sie in eine logische Verbindung entweder mit den Grundsätzen od. mit anderen Beziehungen tritt, die mit den Grundsätzen zusammenhängen. Es können die Beziehungen, welche man untersuchen will, in zweierlei Formen eingekleidet sein, entweder als Lehrsätze, Theoreme, oder als Aufgaben, Probleme. Im ersteren Fall ist ausgesprochen, daß man unter gewissen Umständen (die die Angabe heißen) irgend etwas genau Ausgedrücktes (was die Behauptung heißt) für richtig erachte. Die Begründung der Richtigkeit geschieht durch den Beweis (s. d. u. Konstruktion 4). Bei den Aufgaben wird verlangt, man solle etwas bei bestimmten gegebenen Verhältnissen (der Angabe) ausführen. Diese Ausführung geschieht mittels der Konstruktion oder Auflösung; mittels des Beweises wird dann dargethan, daß wirklich das Verlangte ausgeführt wurde. Einen Satz, der, ohne eines weiteren Beweises zu bedürfen, sich aus einem Lehrsatz ergiebt, nennt man einen Zu sa z. — Je nachdem die räumlichen Gebilde in einer Ebene liegen oder Mothes, Illnstr. Bau-Lexikon. 4. Aufl. II. SIIoTHEK DOELBERG O Universitatsbib nicht, zerfäüllt die G. in die ebene Geometrie, Planimetrie (im weitern Wortsinn), frz. g. àA deux dimensions, engl. planimetry, und in die Stereometrie, G. des Raums, frz. g. à trois dimensions, engl. Stereometry. Je nachdem man das Gebiet der G. mehr auf die einfacheren Beziehungen von geraden Linien und Kreisen, und auf die durch Bewegung solcher mittels kombinatorischer Verbindung entstehend gedachten Ebenen, Kugel⸗, Cylinder⸗ und Kegelflächen, sowie die damit zusammenhängenden Körper beschränkt oder nicht, theilt man die G. in eine elementare oder niedere G., frz. g. élémentaire, engl. common geometry, und in eine höhere ein. Im besondern zerlegt man wieder die elementare ebene G. in die Planimetrie (im engern Wortsinn) od. Epipedometrie und in die ebene Trigonometrie, genauer genommen ebene Goniometrie. In der Planimetrie faßt man die Winkel nur als Mãß für die Neigung zweier der Lage nach bekannter gerader Linien. In der Goniometrie und Trigonometrie werden diese Winkel durch ihre Mäße in Graden, Minuten, Sekunden gegeben, und man hat Schlüsse zu machen von Längenbeziehungen aufWinkelbeziehungen und umgekehrt, so daß die sich ergebenden Winkel in ihrem Mãß sich Deune lassen. Im engern Sinn genommen umfaßt die Trigonometrie nur diese Schlüsse, insoweit sie sich auf das Dreieck beziehen; die Goniometrie wendet dieselben auch bei anderen räumlichen Gebilden an, so daß hiernach die Trigonometrie nur ein Theil der Goniometrie wäre; doch man oft den Ausdruck Trigonometrie für Goniometrie. Die elementare Stereometrie hat gleichfalls ähnliche Unterabtheilungen in die gewöhnliche Stereometrie im engern Sinn, welche der Planimetrie entspricht und auch die körperlichen und anderen Winkel durch räumliche Gebilde gegeben betrachtet, u. in die körperliche Trigonometrie, welche der ebenen Trigonometrie entspricht; die letztere läßt sich auch direkt auf Gebilde anwenden, welche auf einer Kugelfläche liegen, und heißt dann in dieser Betrachtungsweise sphärische Trigonometrie. — In der elementaren G. geschehen die Berechnungen mit Hülfe der niederen Arithmetik, während in der höheren G.außerdem die höhere Analysis benutzt wird; der Begriff des Unendlichkleinen tritt aber auch schon in einigen Beziehungen des Kreises und der Kugel in der elementaren G. auf. Der Behandlungsweise nach theilt man die G. in synthetische u. inanalytische (im weitern Sinn) ein. Die synthetische G.behält die Gebilde als charakteristisch räumliche Beziehungen im Auge und hat in Euklids „Elementen“ ihre klassischste Darstellung gefunden. Bei der analytischen G. im weiteren Sinn, oder — wie man sie fast passender nennen könnte — bei der arithmetischen G., werden die räumlichen Beziehungen mit Hülfe von Mäßeinheiten ausgedrückt und dann Gleichungen gebildet, deren Lösung nach den Regeln der Arithmetik gefunden wird; man kann diese Abtheilung der G. in eine algebraische. goniometrische und analytische (im engern Sinn) eintheilen. Die Grundlage der algebraischen G. bilden Längeneinheiten, die vJum Mäß genommen und mit deren Hülfe entsprechende Flächen- und Körpereinheiten gebildet werden (z. B. den Inhalteines Dreiecks aus den drei Seiten zu berechnen). Die goniometrische benutzt auch Angaben, welche in Winkeleinheiten ausgedrückt sind, und umfaßt die schon erwähnte Trigonometrie; ihre Beh handlungsweise ist eng verknüpft mit der Arithmetik, bes. mit der Algebra und der Lehre von den trigonometrischen Funktionen, so daß ihre gegenwärtige Darstellungsweise, abgesehen von einigen Forschungen der arabischen Geometer, der neueren Zeit angehört. Die analytische G. (imengern Sinn) stammt erst aus dem 17. Jahrh. von Cartesius (oder Descartes) her und hat die Betrachtung der Kurven (s. d.) mit Hülfe von Gleichungen, welche durch das Gesetz dieser Kurven ermittelt werden, zum Gegenstand; sie theilt sich in eine bliothek Heidelberg COFC( analytische G. der Ebene und in eine solche des Raumes, wie dies überhaupt bei allen diesen Abtheilungen der Fall ist. Man nennt die analytische G. dieser Art, welche von einem feststehenden Koordinatensystem (s. d.) ausgeht, auch neuere analytische G. im Gegensatz zu analytischer Geometrie der Alten, welche sich insofern von der synthetischen G. unterscheidet, daß sie bei aufgestellten Problemen den umgekehrten Weg der Synthese einschlägt; man betrachtet dabei die Lösung als schon gefunden u. sucht auf diese Art die Verbindung mit der Angabe herzustellen. Als eine mit der räumlichen G. zusammenhängende Abtheilung der G.ist die Projektionslehre, beschreibende od. darstellende G., frz. g. déscriptive, engl. descriptive geometry, anzusehen, deren Gegenstand die Erzeugung von Bildern räumlicher Gebilde auf einer Fläche oder Ebene (der Projektionsfläche, Zeichenfläche, Bildfläche) ist. Zu diesem Behuf legt man an die charakteristischen Punkte des darzustellenden Gebildes nach einem gewissen System Linien, Projektionslinien, an, welche dann die Projektionsfläche schneiden, worauf dieser Durchschnittspunkt das Bild des betreffenden Punktes am Gebilde giebt. Gehen diese Projektionslinien oder Projicirenden (bei Körpern meist Tangenten am Körper) von einem in unendlicher Entfernung liegenden Punkt aus, so heißt die Methode Centralprojektion. Dieser Zweig der Projektionslehre wird zur Perspektive, wenn man sich die Projektionsfläche, als Glasfläche, zwischen dem Gegenstand und dem Ausgangspunkt der Projicirenden liegend, letztere als Sehstrahlen und ihren Ausgangspunkt als Standpunkt des Auges eines Beschauers denkt. Gehen hingegen die Projicirenden von einem in unendlicher Entfernung liegenden Punkt aus, sind also parallel, so heißt die Projektion dann Parallelprojektion, und zwar je nach der Lage der Projektionsebene oder Grundebene gegen die Richtung der Projicirenden schief- oder rechtwinklige Parallelprojektion. Wenn man mehrere Projektionsebenen annimmt, so können die Projicirenden gegen diese Ebenen verschiedene Neigung haben; stellt man sie so, daß sie gegen die eine horizontal gestellte Projektionsebene einen Winkel von 45, gegen die andere vertikal gestellte einen Winkel von 90 bilden, so erhält man eine schräge Projektion mit unverändertem Grundriß u. unveränderten Höhen. Nimmt man aber zweierlei Projicirende an, horizontale für die vertikale Projektionsebene (auf der sich dann der Aufriß bildet) und vertikale für die horizontale Projektionsebene (auf der sich dann der Grundriß bildet), so entsteht eine gerade Projektion mit unverändertem Grundriß, resp. Aufriß, wenn nämlich der Körper mit seinen Hauptflächen horizontal, resp. vertikal gestellt ist, wie dies bei Bauwerken meist der Fall ist. Eine besondere Abart dieser geraden Projektionsmethode ist die isometrische P., bei welcher man die gerade Projektion eines gegen die Bildfläche dergestalt schief gestellten Körpers sucht, daß, wenn dieser ein Würfel wäre, die Verbindungslinie von der der Projektionslinie nächsten Ecke nach der am weitesten abstehenden winkelrecht auf der Projektionsebene stünde. Dabei haben dann alle Würfelkanten und alle diesen parallele Linien des Körpers gleiche Neigung gegen die Projektionsebene und können daher alle nach einem verjüngten Mäßstab gemessen werden. Obschon die Methode der geraden Projektion mit horizontalen und vertikalen Projektionsebenen oder Grundebenen (welche bei Anfertigung der Zeichnung beide in eine einzige Ebene, die Papierebene, umgelegt werden, indem man sich die eine davon um die Durchschnittslinie beider, die Projektionsachse, gedreht denkt, bis sie in die Ebene der andern hineinfällt) schon seit Jahrtausenden bei Anfertigung der Grund-und Aufrisse befolgt worden, wurde dieselbe doch erst unter dem Namen der darstellenden Geometrie (géométrie déscriptive) durch den franz. Mathematiker Monge zu Ende des vorigen Jahrh. zu einer für die Technik, bes. den Maschinenbau, wichtigen Lehre herangebildet. Auch die verschiedenen Systeme, um Landkarten zu zeichnen, können als Zweige der Projektionslehre betrachtet werden. M. s. auch d. Art. Projektion, Perspektive, isometrischre. Man kann die reine G. auch in eine theoretische undpraktische eintheilen, wobei die erstere die bis jetzt erwähnten Lehren enthält, während die praktische G. die Anwendung der Lehren auf die Feldmeßkunst behandelt. Doch umfaßt dabei die praktische G. oder Feldmeßkunst auch die Lehre von den Instrumenten und den Beobachtungsarbeiten, wobei also auch die Physik in Betracht kommt.