Krümmung, k. 1. (Mathem.) frz. Courbure, f., engl. curvature, Mäß für die Abweichung einer krummen Linie von der geraden, einer krummen Fläche von der Ebene. Dieses Mäß ist natürlich je nach den Umständen ein verschiedenes a) Für ebene Kurven. Die Keines Bogens ist der Winkel, welchen die Tangenten im Anfangs⸗ und Endpunkte mit einander bilden. Dividirt man denselben durch die Länge des Bogens, so erhält man die sogenannte mittlere K., bezogen auf die Längeneinheit. Läßt man jetzt den Bogen, während der eine Endpunkt derselbe bleibt, immer kleiner werden, so ändert sich die mittlere K. und nähert sich immer mehr einem Werth, welcher die K. der Kurve in dem betr. Punkt heißt. Es ist dieselbe nichts Anderes als das Verhältnis, in welchem der unendlich kleine Winkel, unter welchem sich zwei unendlich nahe Tangenten schneiden, zu dem Bogen zwischen den beiden Berührungspunkten steht. Jener unendlich kleine Winkel wird gewöhnlich mit dem Namen Kontingentenwinkel bezeichnet u. selbstverständlich nicht in Graden ausgedrückt, sondern in der Länge des zugehörigen Bogens auf einem Kreise mit der Einheit als Halbmesser. (Vergl. d. Art. Winkel.) Da nun die K. eines Kreises in allen Punkten dieselbe und gleich dem reciproken Werth des Halbmessers ist, so wählt man denselben zur Vergleichung und giebt, um die K. einer Linie in jedem ihrer Punkte zu bezeichnen, den Radius des Kreises an, dessen K. dieselbe ist. Dieser Kreis heißt der Krümmungskreis, ürz. oercle osculateur, engl. cirele of curvature, sein Radius der Krümmungsradius, frz. rayon de courbure, engl. radius of curvation. Legt man ihn so, daß er die Kurve im zugehörigen Punkt auf ihrer hohlen Seite berührt, so bezeichnet man seinen Mittelpunkt, welcher in der Normale des betrachteten Punktes liegen muß, als den Krümmungsmittelgunkt, frz. centre de courbure, engl. center ofcurvature. Dieser ist auch der Punkt, in welchem zwei unendlich nahe Normalen der Kurye einander schneiden, so- wie der Hrümmungskreis zuch derjenige ist, welcher im gegebenen Punkt sich am innigsten an die Kurve anschließt, indem er in demselben drei unendlich nahe Nachbarpunkte mit dieser gemein hat und nicht blos zwei, wie jeder andere berührende Kreis. Die Bestimmung des Krümmungsradius und des Krümmungsmittelpunktes geschieht durch die Differenzialrechnung. — b) Bei doppelt gekrümmten Rurven hat man neben der auf gleiche Weise, wie vorher, zu bestimmenden ersten K. noch eine zweite K. zu betrachten, welche die Abweichung von der Ebene mißt. Legt man hier zunächst durch drei unendlich nahe Nachbarpunkte eine Ebene, so heißt diese die Krümmungsebene, Oskulations- oder Schmiegungsebene. Sie ist für jeden Punkt der Kurve eine andere. In dieser kann man, wie vorher bei ebenen Kurven geschehen ist, den Krümmungskreis konstruiren. Derselbe mißt die erste K. Die zweite K. dagegen ist das Verhältnis des Winkels zweier sich folgenden, unendlichnahen Schmiegungsebenen zu dem zwischen ihren Berührungspunkten liegenden Bogenelement. — Ferner bezeichnet man die Durchschnittslinie zweier unendlich nahen Normalebenen als Krümmungsachse. In ihrem Durchschnitt mit der Schmiegungsebene liegt der Krümmungsmittelpunkt. — 6) Für Oberflächen. Legt man durch die Normale eines bestimmten Punktes Ebenen, so schneiden diese die Oberflächen in krummen Linien, von denen die eine im bezeichneten Punkt die größte, die andere die kleinste K. besitzt. Sie tragen den Namen der Hauptschnitte und stehen senkrecht auf einander. Unter den Krümmungsradien des betreffenden Punktes versteht man sodann diejenigen der Hauptschnitte, so daß zu jedem Punkt der Fläche zwei Krümmungsradien und zwei Krümmungsmittelpunkte gehören. Das Produkt der beiden ersteren ist von Gauß K.der Oberfläche genannt worden. — 2. K. des Holzes, k. franz. Cambrure, engl. Cambering, s. d. Art. Balken V. e. Frisches Holz läßt sich besser krümmen als trockenes. Wenn man 2 oder 3 Balken auf einander legt und zugleich krümmt, so bedarf man allerdings dazu das Boppelte oder Dreifache an Kraft, aber sie nehmen dafür eine stärkere K. an als einfache; Tannenholz darf bis zu ½5 seiner Länge, Eichenholz nur bis zu /½% der Länge ohne Schaden gekrümmt werden. Nach der K.müssen die Balken mindestens 2 Monate eingespannt bleiben. — .Behufs der K. wirdein Gerüst hergestellt, indem man zwei Reihen Pfähle einschlägt, jede Reihe nach der gewünschten Kurve oben verschneidet und nun jeden Pfahl der einen Reihe mit dem ihm in der andern Reihe entsprechenden Pfahl durch einen runden Holm verbindet. Der Balken wird nun auf den mittelsten Holm angekettet und dann die Enden allmählich bis auf die Holme herabgezogen, während unter dem Balken ein gelindes Feuer unterhalten wird. Erümmungsachse, k., Krümmungsebene, f. (Math.), s. d. Art. Krümmung II. und Kurve. Krümmungslinie, k. (Math.), eine krumme Linie auf einer Oberfläche, welche die Eigenschaft besitzt, daß die, in zwei in ihr gelegenen unendlich nahen Punkten, auf die Oberfläche errichteten Normalen einander schneiden, oder genauer, einen unendlich kleinen Abstand dritter Ordnung pvon einander besitzen. Durch jeden Punkt der Flüche gehen zwei Ken, welche senkrecht auf einander stehen. Die an dieselben gelegten Tangenten sind identisch mit denen an die Hauptschnitte durch den fraglichen Punkt. Die analytische Bestimmung der K. geschieht mit Hülfe der Differenzial- und Integralrechnung und kann wegen der auftretenden Schwierigkeiten nur in einigen Fällen vollständig durchgeführt werden. — Von Monge ist vorgeschlagen worden, die Kin wegen ihres innigen Zusammenhanges mit der Fläche bei projektiver Darstellung einer solchen zu benutzen; s. auch d. Art. Fläche. Krümmungsradius, m., s. d. Art. Krümmung und Kurve I. Ueber den K. für Brücken u. Kanäle s. d.betr.Art. Krümmungswinkel, m. (Wasserb.), der Winkel, um welchen ein Kanal seine Richtung verändert. siothek Heidelberg manivelle composée, engl. double crank, ist eine gewissermaßen aus mehreren K. zapfenstange, frz. bielle, engl. oonnecting rod, nö: thig; s. übrigens d. Art. Kurbel. man Wasser zu⸗ Fig. 2432. K gleich in mehreren Röhren hebt; deshalb ist ein mehrmals gekröpfter Krummzapfen am Wasserrad befestigt u. an jedem Kropf hängt eine Korbstange oder Kurbstange, welche mittels eines Balanciers die Kolbenstange bewegt.