Parabel, k., frz. parabole, f, engl. parabola. I. Ebene Kurve(Fig.2757) von der Eigenschaft, daß die Entfernung if eines beliebigen Punktes i derselben von einem festen Brennpunttt, seinem Abstand ig von seiner festen geraden Linie, Direktrix, Leitlinie kl, gleich ist. Eine andere gerade Linie, welche zu dieser parallel läuft u. vom Brennpunkt nur halb so weit, also um die Brennweite ka absteht, wird Scheiteltangente gen. und berührt die Kurve in a. Die Parabel ist eine aus einem einzigen Stück bestehende, aber ungeschlossene Linie und symmetrisch zu der Geraden k m, welche Ach se heißt und auf der Scheiteltangente imBerührungspunkt a senkrecht steht. Die Brennweite af ak ist gleich dem Stück, um welches die Entfernung eines beliebigen Parabelpunktes vom Brennpunkt HEIDELBERG O Universitätsb (der sogen. Radiusvektor od. Leitstrahh seinen Abstand von der Scheiteltangente übertrifft. Wird der Scheitel a zum Anfangspunkt eines rechtwinkligen Koordinatensystems gewählt, und fällt die Abseissenachse in die Achse, die Ordinatenachse in die Scheiteltangente, so ist die Gleichung der Parabel y2 ＝ 2p X. Hierin heißt 2 poder auch p selbst der Hauptparameter, dabei ist p gleich der doppelten Brennweite, also auch gleich der Länge der im Brennpunkt auf der Achse senkrecht stehenden Ordingten. II. Die P. geht hervor als die Schnittlinie eines Kreiskegels durch eine Ebene, welche zu einer Kante desselben parallel läuft. Sie gehört daher zu den Kegelschnitten (s. d.) und kann angesehen werden einerseits als Ellipse mit unendlich großer Halbachse, anderseits als Hyperbel, bei welcher der eine Zweig ins Unendliche gerückt ist, und ebenso die Asymptoten wie der Mittelpunkt im Unendlichen liegen. III. Die Gleichung der Tangente an einem Punkt der P., welcher die Koordinaten X. u. . hat, ist ＋ X). Dieselbe zeigt, daß die Tangente die Parabelachse ⁰0 Fig. 2758 eben so groß ist, wie der Abstand ha des den beiden Linien it und ig. Darauf beruht die Eigenschaft der P., alle parallel zu ihrer Achse einfallenden Strahlen im Brennpunkt 4(Fig. 2759) zu vereinigen und umgekehrt alle vom Brennpunkt ausgehenden parallel weiter zu senden. Wird vom Brennpunkt aus auf irgend welche Tangente ein Perpendikel gefällt, so liegt der Fußpunkt desselben stets in der Scheiteltangente. Hierauf gründet sich eine höchst einfache Konstruktion der P., wenn der Brennpunkt F und die Scheiteltangente à b gegeben sind (Fig. 2760). Man zieht durch Fgerade Linien und errichtet in den Punkten, wo dieselben 2 b schneiden, auf ihnen Perpendikel. Diese umhüllen die gesuchte P. als Tangenten; die Berührungspunkte der Tangenten findet man, wenn man auf jeder Tangente das Stück, welches auf ihr durch die Achse u. die Scheiteltangente abgeschnitten wird, von letzterer aus nochmals aufträgt (z. B.tM =It macht). Werden in den Endpunkten irgend einer Sehne der P. die Tangenten konsteuirt und der Durchschnittspunkt derselben mit dem Brennpunkt durch eine Gerade verbunden, so bildet diese mit beiden Tangenten gleiche Winkel. Geht die Sehne durch den Brennpunkt, so schneiden sich die betreffenden Tangenten in der Direktrix, und zwar unter einem rechten Winkel. IV. Wenn man in der P. ein System paralleler Sehnen zieht und deren Mittelpunkte verbindet, so erhält man eine bibliothek Heidelberg (e gerade Linie, einen sogen. Durchmesser. Während be anderen Kegelschnitten die Durchmesser sich im Mittelpunk schneiden, sind sie hier sämtlich einander und der Achse parallel. Daraus ergiebt sich eine einfache Konstruktior der Achse und der übrigen Bestimmungsstücke einer gegebenen P., ebenso der zu einer gegebenen geraden Linie