Projekt, u., frz. projet, m., engl. project, Projected plan, purpose, ital. progetto, s. v. . vorläufiger Entwurf, dessen Ausführung noch nicht fest bestimmt ist. trie f. déscriptive, engl. descriptive geometry (Math.). lehrt räumliche Gestalten streng geometrisch durch Zeichnung auf ebenen Tafeln darzustellen; s. Geometrie. A. Parallelprojektion, rz. Projection parallele, engl. parallel projection, ital. prosezione parallela. 1. Die orkhogonale Projektion, rechtwinkligeParallelprojektion, ist, obgleich die Perspektive weit früher angewendet ward, doch vor dieser wissenschaftlich behandelt worden, u. zwar durch Gaspard Monge. Denkt man sich von allen Punkten eines eckigen Körpers im Raum Perpendikel, Prostzirende, auf eine Ebene, die Proscktionsehene, frz. Plon de projection, engl. plane of projection, gefällt u. deren Fußpunkte in Zig. 2886. Flg. 2887. derselben Weise verbunden, wie es die entsprechenden Punkte des Körpers sind, so erhält man in dieser Ebene ein Bild des Körpers, eine orthogonale Projektionsebene. Wollte man aus diesem Bild allein auf die Dimensionen des Körpers schließen können, so müßten noch die Längen der Projizirenden gegeben sein. Dasselbe Ziel erreicht man bequemer durch Konstruktion einer zweiten Projektionsebene auf einer zweiten Parallelprojektionsebene, welche meist auf die erste senkrecht gestellt wird. Außer diesen beiden Ebenen wird oft noch eine driite eingeführt, auf beiden ersteren senkrecht (Fig. 2886). Durch die Fußpunkte at, 31%½ u., der drei Perpendikel, welche man von dem Punkt a im Raum auf die drei Parallelprojektionsebenen fällt, sind die drei Parallelprojektionen desselben gegeben und der Punkt a selbst ist durch sie völlig bestimmt. Man nennt diese drei Parallelprojektionen gewöhnlich Grundriß, Aufriß und Seitenriß, und dem entsprechend die dreiParallelprojektionsebenen die Grundriß⸗, Aufriß⸗ und Seitenrißebene. Die Grundrißebene wird gewöhnlich horizontal gelegt. Die Durchschnittslinien dieser drei Ebenen heißen die Projektionsachsen; gewöhnlich werden sie mit X, L, bezeichnet, wobei die erstere die Schnittlinie der Grund⸗ und der Aufrißebene, die zweite die der Grund⸗ und Seitenrißebene, die letzte die der Aufriß-und Seitenrißebene ist. — Außerdem ist in jeder dieser Achsen eine positive Richtung festzusetzen, wobei man meist als Anfangspunkt rechnet, so daß die positive Richtunz der X.Achse, die auch Grundschnitt genannt wird, nach rechts, die der X-Achse nach vorn und die der Z-Achse nach oben geht. Die Parallelprojektion verwendet nun aber nicht immer beim Entwerfen von Bildern drei Ebenen, wie es hiernach den Anschein haben könnte, sondern bringt häufig alle Bilder in eine Tafel. Dies thut sie auf folgende „Weise. Die Tafel, auf welcher gezeichnet wird, wählt man zur Aufrißebene u. dreht sodann die Grundriß⸗ u. Seitenrißebene samt den in diesen liegenden Projektionen um 90, sbibliotnek Heidelberg resp. um die X. und / Achse, so daß sie in die Aufrißebene fallen. Bei der Drehung der Grundrißebene kommt die pofitive L-Achse auf die negative Achse, bei der Drehung der Seitenrißebene dagegen auf die negative X.Achse zu liegen, so daß die V-Achse getrennt wird in einen zum Grundriß und in einen zum Seitenriß gehörigen Theil. Nach der Drehung findet man, daß Aufriß und Grundriß eines Punktes in einer Parallelen zur 2.Achse, Aufriß u. Seitenriß hingegen in einer solchen zur X.Achse liegen. Der Grundriß steht von der X-Achse eben so weit ab wie der Seitenriß von der &-Achse. — Hiernach kann man aus zwei Projektionen eines Punktes stets die dritte finden. Sind 3. B. (Fig. 2887) der Aufriß a“ u. der Grundriß aeines Punktes a gegeben, so zieht man durch a“ eine Parallele zur X.Achse, schlägt den Punkt b. wo sie der X-Achse begegnet, durch einen Kreisbogen, dessen Mittelpunkt im Projektionscentrum liegt, auf den zugehörigen Theil der V.Achse für den Seitenriß, und zieht durch den dort erhaltenen Punkt eine Parallele zur 2.Achse; ebenso durch a“ eine Parallele zur X.-Achse; im Schnittpunkt beider Linien liegt der Seitenriß a“. — Es genügen in den meisten Fällen zwei Parallelprojektionen, meist Auf⸗ und Grundriß. —Wenn ein Punkt in einer Parallelprojektionsebene liegt, so fällt eine Projektionsebene mit ihm zusammen und die beiden anderen liegen in den Achsen; liegt ein Punkt in einer der Achsen, so fallen zwei seiner Parallelprojektionen mit ihm zusammen und die dritte liegt im Parallelprojektionscentrum. Die Ebenen durch die ursprüngliche gerade Linie und durch ihre natürlich auch geradlinigen Parallelprojektionen heißen projizirende Ebenen. Eine gerade Linie ist allgemein bestimmt durch zwei ihrer Parallelprojektionen; nur in wenigen Fällen reichen diefe nicht aus. Ist z. B. eine gerade Linie zur Seitenrißebene parallel, so fallen ihr Aufriß und Grundriß in dieselbe zur X-Achse Senkrechte, und zur vollständigen Bestimmung der geraden Linie, besonders ihrer Neigung, gehört noch die Angabe des Seitenrisses. Der Aufriß des Punktes, in welchem eine gerade Linie die Grundrißebene schneidet, liegt in der X-Achse und im Aufriß der geraden Linie, und der Grundriß desselben Punktes senkrecht darunter im Grundrisse der geraden Linie. Ebenso liegt der Grundriß des Schnittpunktes mit der Aufrißebene dort,‚ wo der Grundriß der geraden Linie die X-Achse trifft, u. der Aufriß senkrecht darüber. Eine Ebene wird bekanntlich beiden zu Bestimmung der Ebene nöthigen geraden Linien können ganz beliebig auf derselben gewählt werden; doch ist es am vortheilhaftesten, diejenigen Linien zu wählen, in welchen die Ebene den Parallelprofektionsebenen begegnet. Man nennt diese die Spuren der Ebene u. unterscheidet 1./ 2. u. 3. Spur. Der Aufriß der ersten und der Grundriß der 2. Spur liegen in der X.Achse; der Grundriß der ersten u. der Aufriß der zweiten fällt mit der Spur selbstzusammen. Die 1. und 2. Spur schneiden sich in der X.-Achse. Sind JLM/ u. KOS (in Fig. 2888) die Spuren zweier Ebenen, so sind die Punkte Pu. , in welchen sich OR u. L sowie s u. LM schneiden, zugleich die Spuren für die Durch3schnittslinie beider Ebenen in der Grund-u. Aufrißebene. Den Aufriß von P und den Grundriß von erhält man durch Perpendikel auf die X.Achse, in po u. o, verbindet man sodann die beiden Aufrisse u. die beiden Grundrisse, uo erhält man die beiden Projektionen pHu. Pq der Durchschnittslinie. — Der Schnittpunkt einer gegebenen Geraden mit einer Ebene wird gefunden, wenn man die Schnittlinie der gedachten Ebene mit einer der projizirenden Ebenen der gegebenen Geraden, dann deren Durchschnittspunkt mit dieser Schnittlinie bestimmt, welcher der gesuchte ist. — Eine gerade Linie steht senkrecht auf einer Ebene, wenn ihr Aufriß auf der 2. Spur, ihr Grundriß auf der 1. Spur senkrecht steht. Durch Kombination derartiger fundamentaler Konstruktionen kann man die verschiedensten Aufgaben lösen. Zu Bestimmung von Oberflächen wählt man in jedem einzelnen Fall die einfachsten Bestimmungsstücke; so für den Kegel den Scheitel u. eine Spur; für den Cylinder eine Spur und die Richtung der Erzeugenden; für Rotationsoberflächen die Achse u. einen Meridian, wobei man erstere am bequemsten auf eine Parallelprojektionsebene senkrecht stellt re. Die Ermittelung der wahren Länge von Linien, der Größe von Winkeln etc. geschieht durch das sogenannte Herabschlagen od. Umklappen derselben in eine Parallelprojektionsebene, während das Zurückschlagen bezweckt, aus der Angabe einzelner Bestimmungsstücke, wie Längen und Winkel, die Parallelprojektionen zu finden. — 2. Rechtwinklige Parallelprosektion schiefgestelter Körper. Die orthogonalen Parallelprojektionen geben meist eine vollständige Uebersicht des Gegenstandes; es würde daher die Perspektive vorzuziehen sein, wenn hier nicht wieder der Uebelstand einträte, daß man nur schwierig aus dem Bild die wahren Dimensionen ableiten kann. Beides sucht die axonometrische Projektionslehrmethode zu vermeiden, welche Weisbach begründete, nachdem bereits Farish eine Art derselben, die isometrische P. (s. Isometrisch), erfunden hatte. Bei der axonometrischen Projektion bezieht man zunächst den darzustellenden Körper auf ein gewöhnliches Koordinatensyftem und dreht ihn, indem man ihn mit diesem fest verbunden denkt, so, daß die Parallelprojektionen der 3Koordinatenachsen auf eine 4. Ebene unter denselben Winkeln zusammenstoßen, als die Parallelprojektionen dreier zusammenstoßender Kanten eines Würfels, wenn dieselben in gegebenen Verhältnissen verkürzt erscheinen. Die drei Parallelprojektionen der Achsen gelten in der P. als wirkliche Achsen, denen parallel die Dimensionen der Länge, Breite u. Höhe gemessen werden; diese werden aber nicht in wahrer Länge, sondern nach vorgeschriebenem Verhältnis verkürzt aufgetragen. Sind BIa. in Fig. 2889 die drei Strecken a, b, e die entsprechend verkürzten Koordinaten eines Punktes, so wird das Bild Pauf folgende Weise erhalten: Man trage auf der projizirten X.Achse die Strecke O = a auf, ziehe durch den Endpunkt Aeine Gerade parallel zur V-Achse u. trage darauf AB b auf; ziehe durch B eine Parallele zur Achse u. trage darauf BP auf; dann ist Pdas gesuchte Bild. Es kommt vor Allem darauf an, aus den gegebenen Verhältnissen der 3 Verkürzungskosffizienten n:p die 3 Winkel G, zu sinden, welche die Koordinatenachsen bilden. Wenn zugleich x. Y. 2, die statt der wirklichen Koordinaten Xy2 abzutragenden Strecken sind, so ist C08 α — und ebenso: Man berechne aus den vorgeschriebenen Werthen für m, und p die Winkel a, 3, und trage die Achsen unter diesen Winkeln an einander, wobei man stets die Anschaulichkeit erleichtert, wenn man die -Achse vertikal nimmt. Alsdann berechnet man mit Hülfe des zweiten Systems von Gleichungen aus den wirklichen Koordinaten X, Y, 2 die Projektionen X Y. 21, und konstruirt auf die oben angegebene Weise die Projektion des Punktes P. Nach dem Verhältnis min:p unterscheidet man drei Arten der axonometrischen P. a) Bei der isonometrischen Projektion (Fig. 2890) sind alle 3 Koeffizienten gleich; es wird dann b) Bei der monodimetrischen P. (Fig. 2891) sind zwei der Größen m/ u, p gleich, z. B. m u. p. Meist macht man m:n:P ＝ 2:1: 2. Alsdann wird: 0). Bei der anisometrischen Projektion (Fig. 2892) endlich sind alle 3 Größen m/ u, p verschieden. Wenn z. B. Fig. 2890—2892 zeigen ein reguläres Oktaeder in jeder der drei axonometrischen Projektionsweisen. Man sieht aus diesen Figuren, wie in diesem Fall die beiden letzten Methoden anschaulichere Bilder geben als die isometrische P. während oft das Umgekehrte eintritt. — 3. Rechtwinslige Projektion runder Körper. Es umfaßt dieser Zweig bes. die Aufgabe, die verschiedenen Methoden, Farten u. Pläne zu konstruiren; die Methode, nach welcher die Hemisphären gezeichnet werden, nennt man stereographische Projektion. Die Methode, Planigloben zu zeichnen, ist eigentlich ein Akt der Abwickelung (s. d.). — 4. Schiefwintlige Varallelprojektion. Die sub 2 beschriebenen axonometrischen Parallelprojektionsmethoden haben alle das Unbequeme, daß man den für Aufriß u. Grundriß des zu zeichnenden Körpers (und Aufriß und Grundriß werden doch stets die Grundlage für die Zeichnung bilden) geltenden Mäßstab nicht direkt verwenden kann, sondern sich neue Mäßstäbe für die verschiedenen Dimensionen konstruiren muß. Um demnach eine solche Zeichnung anzufertigen, muß der betr. Handwerker sich ebenfalls nach diesen verschiedenen Maßstäben richten. Dabei sind Irrungen sehr schwer zu vermeiden, auch geht sehr viel Zeit verloren. Alle diese Uebelstände sind durch folgende leichtere Artder schiefwinkligen Parallelprojektion zu vermeiden. Man stellt den Körper, z. B. einen Kasten, auf die Grundrißebene so, daß seine Seiten nicht parallel mit dem Grundschnitt laufen; die Projizirenden aber legt man dann so, daß sie mit der Grundrißebene einen Winkel von 45° bilden; die projizirenden Ebenen der lothrechten Kanten. aber, in denen also die Pro⸗⸗ jizirenden enthalten sind, rechtwinklig zum Grundschnitt stehen. Das Resultat, z. B. Fig. 2893, ist eine Parallelprojektion mit unverändertem Grundriß u. unveränderten Höhen, nach welcher also der Arbeiter leichtohne Irrung und Zeitverlust mit dem gewohnten Maßstab seine Mäße nehmen kann. B. Centralprojektion. Hierbei sind die Projizirenden nicht parallel, sondern gehen von einem Punkt, dem Projektionscentrum, aus. Näheres s. in d. Art. Perspektive, denn so wird diese Projektionsmethode genannt. Eine veränderte Anwendung der Perspektive ist die Basreliefperspektive, bei welcher das Bild nicht mehr eben, sondern ein Körper ist. Für ihre Konstruktion hat bereits im vorigen Jahrhundert Breysig die Regeln empirisch abgeleitet, deren Bestätigung in diesem Jahrhundert Poncelet durch Rechnung gefunden hat. Prosektiren, trs. Z., frz. projeter, engl. to project, to