Wölbstärke an einzelnen Stellen ist man also im Stande, die Richtung der Drucklinie zu verändern; man Shat nun dieselbe so zu legen, wie sie die möglichst kleine Horizontalkraft braucht, mit anderen Worten, wie sie sich unten am Widerlager linie am Scheitel unter die innere Wölblinie, so hat der Bogen das Bestreben, nach aufwärts zu brechen, wobei die Bogenanfänge nach innen fallen und die Scheitelstücke emporgehoben werden. Je preßbarer das Material ist, Um so weniger darf sich die Drucklinie den Wölbflächen nähern. Die Fugenfläche muß jedenfalls größer sein, als nach der rückwirkenden Festigkeit des Materials nöthig wäre, weil dasselbe an den Kanten stets preßbarer sein wird als in der Mitte, und weil die Mittellinie des Druckes nie genau auf der Mitte der Fugen auftreffen wird. Wenn man aber einen Bogen mit der Absicht konstruirt, dies zu erreichen, so wird er jedenfalls größere Stabilität besitzen als jeder andere Bogen, welcher dieser gedachten Mittellinie des Druckes entspricht. Bei sehr preßbarem Material kann man diese Lage der Drucklinie annähernd dadurch herbeiführen, daß man die Wölbftärke am Widerlager vermehrt, oder die Wölbungslinie mit Beibehaltung des Scheitels und Widerlagers etwas weniger krümmt, oder endlich die Gewölbstärke durchgängig vermehrt. Hier geben wir einige leicht anwendbare Formeln zu Berechnung u. Angaben zu Konstruktion der Dimensionen, wobei die Kräfte in Kilogrammen, die Maße in Metern gegeben sind. Es bezeichne G,G.. . die Gewichte der einzelnen Wölbsteine vom Scheitel aus; 41, , die Neigungswinkel der 1., 2., 3. Fuge vom Scheitel aus gegen die Horizontale; 27, 3g die Höhen von den tiefsten Punkten der resp. Fugen bis zum höchsten Gewölbepunkt; on, 6 eg diefelben Höhen für die höchsten Punkte der Fugen; b., be, bs die Entfernungen der tiefsten Fugenpunkte von der Schwerd2, da die Entfernungen der höchsten Fugenpunkte. Nimmt man nun nach Rondelet den Reibungswinkel 9 ⸗ 30e, also tg% 0,735 an, so berechne man: 1. G. tg (a, — Der größte dieser Werthe ist der Druck im Gewölbscheitel pro Quadratmeter in Kilogrammen. Das Gewölbe wird stabil sein, sobald er kleiner ist als der kleinste wird 5 größer, so kippt der Bogen an der Wrn Stelle aufwärts, was aber durch Belastung vermieden werden kann. Die Gewölbstärke im Scheitel ist bei Anwendung von Ziegeln für Halbkreisbögen, welche im Scheitel horizontal abgeglichen sind, oder welche bis zur halben Höhe hintermauert und nach dem Scheitel zu verschwächt sind, ½ der Spannweite; wenn sie bis zur halben Höhe hintermauert sind und der übrige Theil des Extrado dem Intrado parallel ist, ½e der Spannweite; für Bruchsteine um den dritten Theil mehr. Bei Hausteinen kann man nach dem Verhältnis ihrer Festigkeit zu der der Ziegel auf die Stärke schließen. Allgemeiner sind folgende Angaben: nennt many das Gewicht des Materials pro Kubikmeter, vden inneren Radius der Wölblinie, hdie senkrechte Höhe von der Brechungsfuge bis zum inneren Scheitel, 4 die Höhe der Uebermauerung über dem Scheitel, K das Mäß der Druckfähigkeit des Materials in Kilogrammen auf den Quadratmeter (der 20. Theil davon zu größerer Sicherheit), s. d. Art. Festigkeit, so ist die Wölbstärke am h aber, u mithin die Lage der Brechungsfuge, sindet Widerlager sei mindestens um ein Drittheil größer als die hier für die Wölbstärke am Scheitel angegebene Größe; jedenfalls aber so, daß die Drucklinie noch in der Stärke der Wölbsteine am Widerlager eintrifft. Was nun die Stabilität des Widerlagers betrifft, so muß, um ein Ausgleiten zu verhindern, die Stärke d desselben größer sein als , wobei h. die Widerlagshöhe, Pder Druck im Scheitel pro Quadrateinheit, z. B. Quadratmeter, E das Gewicht der Gewölbehälfte samt BelastunginKilogrammen und o der Reibungskoöffizient des Materials ist. Dabei muß o größer als-Widerlagsmauer ist. Um das Kippen mit voller Sicherheit zu vermeiden, muß d größer sein als 3,3 P. Für Gewölbe, die im Scheitel abgeglichen sind, sei unter Beibehaltung obiger Buchstabenbedeutung, wozu noch K für die ganze Wölbhöhe kommt, die Widerlagsstärke beis Einfür den Halbkreis alfo größer als %½/8. 4.— ＋ ½6 he, oder ½8 ＋ 1 ＋ ½ he, für einen Stichbogen von ½ der Spannung als Wölbhöhe gilt d /4 ＋ 1 ½¼jh, wenn die Höhe gleich / der Spannung ist: ¼½s ＋I＋LVht; wenn die Höhe (wie bei einem niederen Spitzbogen) ＝ ½ der Spannung ist: d /¾%½8 ＋ 1 Jh, u. wenn die Höhe (wie bei einem hohen Spitzbogen) gleich der Spannung ist: d s/8 ＋ 1 ½hi. Für halbkreisförmige Gewölbe, die bis zur Brechungsfuge hintermauert und mit gleichmäßiger Stärke gewölbt sind, sei die Widerlagsstärke d. ½ (h. — h — b /682), wobei se die Wölbstärke, b die wãg rechte Entfernung der Mitte der Brechungsfuge von der Mitte der Widerlagsfuge ist. Ist die Wölbung nach dem Scheitel zu schwächer, so sei die Widerlagsstärke d ½ ch — h — b) ＋ 81, wobei sz die Wölbstärke an der Brechungsfuge ist. Hat das Gewölbe ½ der Spannung zur Wölbhöhe, so berechne man zunächst d für den Halbkreis und nehme ,¾ d zur Widerlagsstärke; bei /4 Spannung als Höhe nehme man / d, bei ½/ der Spannung als Höhe aber ½ d, und wenn die Höhe gleich der Spannung ist, nur ½/ d; diese Werthe sind zwar sämtlich blos annäherungsweise berechnet, um die Formeln zu vereinfachen, aber mit hinlänglicher Sicherheit; sind die Gewölbe hoch übermauert, so hat man für die Größe Pdas Gewicht der Gewölbhälfte, samt der sie treffenden stabilen Belastung durch die Uebermauerung und der lieber zu hoch als zu niedrig zu taxirenden zufälligen oder variabeln Belastung durch Möbel, Wären, Menschen etc. einzusetzen. Dabei kann man mit ziemlicher Gewißheit annehmen, fußend auf viel . Hrn Erfahrungen, daß die Widerlagsstärke bei 17 m. hoher Uebermauerung ihr Maximum erreicht, bei größerer Höhe dann nicht mehr vermehrt zu werden braucht. B. Für unsymmetrische Bogen und Bogen mit unsymmetrischer Belastung muß man alle in der Berechnung gebrauchten Größen für jede Bogenhälfte einzeln berechnen und in obige Formeln diejenigen dieser Größen einsetzen, welche die größte Stabilität erreichen lassen. O. Um Kreuzgewölbe in Bezug auf ihre Stabilität zu berechnen, zerlege man jede Happe mit ihrer Belastung zwischen zwei Gratbögen in elementare Bögen, welche sich gegen die Gratbögen als Widerlager stemmen, berechne die Stabilität dieser Elemente und daraus den Druck, den jedes derselben auf den Gratbogen äußert; dieser empfängt einen solchen Druckstets von zwei Seiten; von diesen beiden Pressungen berechnet man die Resultanten, welche dann in der Richtung des Gratbogens liegen u. als Grundlage bibliothek Heidelberg zu Berechnung der nöthigen Stärke dieses Bogens u. seiner Widerlager nach Obigem dienen können. D. Für Klostergewölbe müssen die Widerlager an der Stelle am stärksten sein, wo eine im Grundriß von der Spitze des Gewölbes auf die Schildmauerlinie gezogene Normale jene trifft; hier berechnet man die Widerlagsstärke gerade wie beim Tonnengewölbe; nach den Ecken zu nimmt dieselbe allmählich ab und richtet sich für jeden einzelnen Punkt nach dem Druck des sich gegen denselben stemmenden Gewölbelementes bis zum Grat. E. Für Auppeln. Denkt man sich eine Kuppel in horizontale Schichten (Kränze) zerlegt, so werden die obersten derselben fast keinen (unmittelbar am Scheitel gar keinen) Horizontalschub fortpflanzen, vielmehr fast allen durch ihre Spannung hervorgebrachten Schub zu ihrem eigenen Gleichgewicht absorbiren, so daß die Resultanten aus Gewicht und Horizontalschub bei den oberen Schichten sehr steil sind undallmählich flacher werden, bis man eine Fuge erreicht, wo sie so flach sind, daß eine Hintermauerung nöthig wird, um das Ausgleiten zu verhindern; dies würde also die Brechungsfuge sein. Um nun die Stabilität zu berechnen, denkt man sich eine Kuppel von La Längeneinheiten Spannweite u. b Einheiten innerer Höhe in Meridionalschichten von je 1 Einheit Breite auf dem Widerlager getheilt; nennt man nun den durch diese Schicht geübten Horizontalschub , ihr vorher zu berechnendes Gewicht P, Mdas Mament von P in Beziehung auf den Bogenanfang als Drehungspunkt, N das Moment des Horizontalschubes, ebenso bezogen, « den Neigungswinkel der obersten Fuge gegen die Vertikale (für geschlossene Kuppeln == 0), 6 den Neigungswinkel der untersten Fuge gegen die Vertikale, a, den inneren Radius einer etwaigen oberen Oeffnung, b. die Tiefe dieser Oeffnungskante unter dem Scheitel, e die Bogenstärke, h die Höhe der Belastung (bei ungleichmäßigem Material so reduzirt, als wenn es gleichmäßiges wäre), h“ die Uebermauerung über dem Rand der Oeffnung, h“ die Höhe der Hintermauerung am Widerlager, von diesem aufwärts gemessen, h““ aber (PEEEh) —h , d. h. die Differenz zwischen der Hintermauerungs⸗ und der totalen Uebermauerungshöhe am Scheitel, o den Neigungswinkel der Brechungsfuge gegen die Vertikale, e die Widerlagsstärke, k die Höhe der Widerlagsmauer unter dem Bogenanfang, g die Totalhöhe des Widerlagers nebst der Uebermauerung desselben, nden Stabilitätskosffizienten (nicht gern unter 3, d. h. als dreifache Sicherheit anzunehmen), so wird sein: M= A also für dreifache Sicherheit (u = 3) ist Da man nun annähernd Mfetzen kann, so erhält man was auch in der Regel nahe zutrifft, an, die Brechungsfuge liege in der halben Höhe des Bogens und 0 wirke in der Mitte des über der Brechungsfuge liegenden Bogentheiles, also ungefähr / ( — b) über der Widerlagsfuge, so ist 0 Setzt man dies in die Gleichung für ge ein, so erhält man Durch Einsetzen obigen Werthes für Mund dann für P in diese Gleichung, durch Division des Resultates mit g und durch das Ziehen der Quadratwurzel erhält man endlich den Werth von e, den man mit etwas geringerer, doch genügender Zuverlässigkeit auf graphischem Weg viel leichter entwickeln kann. Der Horizontalschub kann übrigens auch durch ein eisernes Band vernichtet werden, welches entweder um die Brechungsfuge oder um den unteren Theil der Kuppel gelegt wird und fähig sein muß, eine Spannung von aw zu ertragen, wenn man das Gewicht der Wölbsteine pro Kubikmeter in Kilogramme wsetzt; das Band, von Schmiedeeisen gefertigt, müßte mindestens näher in die Wölbungstheorie einzugehen wünschen, verweisen wir auf die Spezialliteratur. WMölbungssfläche, Wölbfläche, f., die innere wird auch Intrados, die äußere Extrados gen. (s. d. und Wölbung).