imaginür, adj., franz. imaginaire, engl. imaginary (Math)/, heißt 1. eine Größe, wenn sie nur in der Imagination (Einbildung) besteht, nicht aber in der Wirklichkeit. J. In dieser Hinsicht sind die ien Größen den reellen, die also auch in der Wirklichkeit vorkommen können, entgegengesetzt. Die reellen Größen sind entweder positiv oder negativ, oder stehen auf der Grenze zwischen beiden. In der reinen Arithmetik giebt es daher nur drei Arten von reellen Größen: die positive Zahl, die negative Zahl und Null. Da nun die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl, z. B. .— 3, nach der Definition der Wurzelrechnung, derjenige Werth ist, der, zum Quadrat erhoben. — 3 giebt, anderseits aber sowohl eine positive als eine negative Zahl im Quadrat nie eine negative Zahl geben kann und auch Null im Quadrat wieder Null wird, so folgt, daß —3 kene reelle Zahl sein, sondern nur in der Einbildung bestehen kann. Es ist sonach allgemein . P/ wenn P positiv ist, eine ie Zahl. Die allgemeinere Form der i. en Zahlen ist a b I, wo a und b reelle Zahlwerthe sind; die Größe heißt, wenn a und b von Null verschieden sind, eine gemischte oder komplexe ite Zahl, während bi/ A, wo also a oist, eine reine iie Zahl heißt. Man kann nämlich/ p auch in die Form bringen wol/ peine reelle Zahl ist, so daß p in der Form a Fb — enthalten ist, für 2 = o und b p. Die Analysis zeigt, daß alle in der Arithmetik vorkommenden iten Zahlen stets auf die Form a ＋ b/ — I, oder ＋ b i, wenn man mit Cauchy läü— 1 = isetzt, gebracht werden können; so gut nämlich z. B. die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl nicht in der Realität existirt, so gut existirt überhaupt jede höhere gerade Wurzel aus einer negativen Zahl nicht; od. allgemein: p ist auch i; die Analysis zeigt aber, daß p auf die Form a ＋ bi zurückgeführt werden kann. Es umfaßt übrigens diese Form a ＋ bi die iten und reellen Zahlen, da, wenn b verschwindet oder Null ist, auch alle reellen Zahlen durch dieselbe ausgedrückt werden. Die Imaginärität läßt sich mithin einzig und allein auf den Werth — loder i werfen; dieses i ist i., obgleich iꝰ oder (* 1/ selbst veell, nämlich — ist. — Da sowohl ＋ — als auch als — i für den Repräsentanten der Imaginärität genommen werden. Man nennt zwei ite Ausdrücke a ＋ bi und Werth i in dem einen mit dem Zeichen , während er in dem andern mit dem Zeichen — (minus) genommen wurde, zugeordnete od. konjugirte ite Werthe. Das Produkt (a ＋ bi) (a — bi) ist gleichfalls reell, nämlich ? ＋ be. Es giebt analytische Ausdrücke, welche, weil in ihnen 1 vorkommt, scheinbar i., wirklich aber reell sind, so z. B. die Form .. 4 ＋ bi Di, auf welche man bei der Lösung der kubischen Gleichungen beim casus irreducibilis (s. kubische Gl.) stößt. Man erkennt die Realität dadurch, daß in solchen Werthen die Vertauschung von i mit — 1 oder eine Umänderung der Zeichen bei den mit i behafteten Gliedern keine Veränderung im Werth des Ausdrucks derselbe Werth, wie ² 1 / 4 — Di. Auch ist allgemein der Werth / A b1 4 — 5 1 trotz der ien Form ein reeller, wie auch (a ＋ b i) e (a — b i) o — di, wo a, b, 6, d beliebige reelle Größen sind. Haben zwei ite Ausdrücke a＋ bi u. C＋di, wobei die Größen a, b. c, d Funktionen einer od. mehrerer Veränderlichen sind, für alle Werthe dieser Veränderlichen denselben Werth, so ist dies nur möglich, wenn a und II. Man kann die Form a ＋ bi auch in der Gestalt wenn man / ad ＋ b? r setzt und einen Winkel resp. Bogen v einführt, so daß o ? 51—17 u. Sin ꝙ Vd ist, so erhält a ＋ bi die Gestalt r (cο i sin p). Man nennt alsdann den Werth / be den Modulus und den Werth o, dessen Bestimmungsgleichungen angegeben wurden, das Arg ument der i.en Größe (4 ＋ b ). Es ist für jede iie Größe sowohl der Modulus wie auch das Argument eine wirklich existirende, d. h. reelle Größe; der Modulus wird dabei stets als positiv angenommen. Euler hat durch Benutzung der iten Zahlen als Exponenten von Potenzen mit der Basis e (s. Logarithmensystem) sehr schöne Resultate erzielt, welche in der Goniometrie und überhaupt bei der Lehre von den trigonometrischen Funktionen angegeben werden; s. d. Art. Trigonometrisch. — 2. J. heißt eine Wurzel einer Gleichung, wenn sie die Form a b — 1 hat. Jede Gleichung vom nten Grad mit einer Unbekannten hat, wenn ihre Kosffizienten reell sind, stets Wurzeln, die aber entweder alle oder theilweise reell oder i sein können; hat aber eine ile Wurzel a ＋ bi vor, wo mithin a und b ganz bestimmte Werthe haben, so ist auch a — bi eine Wurzel derselben Gleichung. Beide Wurzeln heißen dann zusammen zugeordnete oder konjugirte ile Wurzeln der Gleichung. Ist xK die Unbekannte, so läßt sich die Gleichung durch das Produkt & — (42 ＋ b i)] & — (4 — bi)l oder durch X — 2 4 * ＋ (22 ＋ be) ohne Rest theilen, so daß als Quotient eine Gleichung von & vom (n—2)ten Grad bleibt. Das erwähnte Produkt selbst heißt dann ein trinomischer Faktor der Gleichung, wegen seiner Zusammensetzung aus drei Gliedern, indem a. beals ein einziges Glied gerechnet wird. Ueber die Weise, wie man unterscheidet, ob eine Gleichung ite Wurzeln habe, u. über die Ermittelung derselben s. d. Art. Gleichung XI. u. XIV. — 3. J. heißt ferner eine Kurve od. Fläche, wenn keiner ihrer Punkte in der Wirklichkeit liegt, oder wenn, wie man analytisch sich ausdrücken kann, keine reellen Koordinateneine i.e Kurve, da die linke Seite der Gleichung als Summe tzweier Quadrate für reelle a, b, X, 5 nie einen negativen Werth, wie es die rechte Seite verlangt, geben kann. — Dagegen können Kurven und Flächen, bei welchen die in ihrer Gleichung vorkommenden Konstanten ie Größen sind, auch Punkte in der Wirklichkeit haben; so hat die Gerade oden durch den Durchschnitt der beiden Geraden bestimmten Punkt in der Wirklichkeit liegend, ähnlich wie eine Ebene mit iten Konstanten eine in der Wirklichkeit liegende reelle Gerade enthält. Imago, lat., frz. image, f. engl. image, Bildnis; iwago miraculosa, image miraculeuse, Gnadenbild; image mouvante, Automat (an Orgeln, Kelchen etc., vergl. d. Art. Jacquemart), imaginare,lat., frz.imager, engl.to image, bildlich darstellen, abbilden; mit Bildern ausstatten; image sainte, engl. image of a Saint, Heiligenbild; imagier, m., frz., engl. image-maker, lat. imaginarius, Bildner; imagier-tailleur, frz., engl.image-Carven, Bildschnitzer; peintre⸗-imagier, Staffirmaler, Maler, der Skulpturen bemalt; peinture imagiere, Staffirmalerei; imagines majorum, lat., Ahnenbilder; s. d. Art. Atrium und Haus.