geometrisch, adj. Man nennt 1. eine geometrische Fläche oder Kurve eine solche, deren Punkte sich durch ein und dasselbe Gesetz bestimmen lassen (s. d. Art. Kurve und Gleichung), im Gegensatz zu ganz unregelmäßig gezogenen Gebilden dieser Art. — 2. Geometrisches Mittel aus zwei Zahlen a und b ist die Quadratwurzel aus dem Produkt dieser Zahlen; so ist z. B. 4 das g.e Mittel zwischen 2 und 8. — 3. Geometrischer Ort ist das g.e Gebilde, dessen sämtliche Punkte einer gestellten Anforderung Genüge leisten; so haben die Spitzen von Dreiecken gleichen Inhalts, welche sich über (und unter) einer u. derselben Grundlinie in einer Ebene konstruiren lassen, als g.en Ort zwei gerade Linien, die nach beiden Richtungen hin gleichweit von der Grundlinie abstehen und unter sich sowie mit der Grundlinie parallel sind; so ist die Kugelfläche der g.e Ort für alle Punkte, welche von einem festen Punkt (dem Mittelpunkt) dieselbe Entfernung haben. — 4. Geometrische Progression oder Reihe heißt eine Reihe, bei welcher jedes Glied in dem folgenden gleich oftmal enthalten ist; die Zahl, welche angiebt, wie oft, heißt der Exponent der g.en Progression; so ist bei der g.en Progression 2, 4, 8, 16 etc. der Exponent 2. Man kann Summe und letztes Glied einer glen Progression bestimmen, wenn man die Anzahl der Glieder, den Exponenten und das erste Glied derselben kennt. Ist der Exponent negativ, so erhalten die auf einander folgenden Glieder der Reihe verschiedene Vorzeichen; ist der Exponent größer als 1, so werden die Glieder immer größer und die g.e Progression heißt eine wachsende oder steigende, ist der Exponent kleiner als 1, so werden die Glieder immer kleiner und die g.e Progression heißt eine abnehmen de oder fallende. Man betrachtet in der Arithmetik auch g.e Progressionen mit unendlich vielen Gliedern; doch hat die Summe derselben nur dann einen bestimmten, von dem Unendlichgroßen verschiedenen Werth, wenn sie eine fallende ist. — 5. Geometrische Proportion, die Gleichstellung von zwei geometrischen Verhältnissen, d. h. gleichwerthigen Divisionen, wie 12:3 ⸗ 8:2. Die einzelnen Theile dieser Divisionen heißen die Glieder, und zwar die in der Mitte stehenden (wie 3 und 8) die mittleren, die anderen die äußeren. In jeder richtigen gen Proportion ist stets das Produkt der inneren Glieder gleich dem der äußeren (so z. B. in dem gegebenen Beispiel ist 3.8 ⸗ 12. 2). Es läßt sich stets aus drei Gliedern das vierte bestimmen. Unter einer stetigen glen Proportion versteht man eine solche, in welcher die mittleren Glieder gleich sind, z. B. 3: 6 ＝ 6 12; gewöhnlich stellt man diese gleichen Glieder in die Mitte, und der Werth eines derselben ist dann gleich dem g.en Mittel (s. d. u. 2) aus den beiden äußeren Gliedern. — 6. Geometrische Zeichen sind: SZeichen der Kongruenz (s. d.), — Zeichen der Gleichheit des Inhaltes, „ Zeichen der Aehnlichkeit (s. d.); (Loder „ (über einigen Buchstaben) giebt einen Winkel, L das auf einander Senkrechtstehen, oder die Pa⸗ — und — über einigen Buchstaben wird bezüglich eine )gerade Linie und ein Bogen kundgegeben und mit O zuweilen ein Kreis bezeichnet. In der Trigonometrie kommen, als Zeichen der Maßabtheilungen der Winkel, die Bezeichu. West u. als einzige Verzierung eine oder einige Nischen. Als aber im Anfang des 11. Jahrh. unter Bagrat II. Georgien durch Vereinigung mit Abchasien mächtiger ward, stand die armenische Bauweise in voller Blüte und kam dann auch in Georgien zur Anwendung. Ein armenischer Baumeister baute im Jahre 1000 die Klosterkirche zu Sion im Thale Atene in Karthli. Die 1020 gebaute Bischofskirche zu Martvili in Mingrelien istebenfalls völlig armenisch, ebenso die Kathedrale in Kutais, 1003 —1009 gebaut, in welcher sich byzantinische Anklänge finden. Nach 1050, bei der Trennung von Armenien, schloß sich Georgien wieder mehr dem byzantinischen Stil an; Beispiel Kirche zu Samthavis 1050—1079, s. Fig. 1843— 1848, Flechtwerk wird sehr viel verwendet, auch islamitische Formen, u. die persische Lothosblume macht sich geltend. Zugefügt wurden breite Umrahmungen um die Thüren, viereckige Füllungen od. Kreuze auf glatter Fläche, große Rosetten in den Bogenfeldern u. dgl., alles mit gleichgültigem hek Heidelberg Spur eines sich fortbewegenden Punktes, eine mechanische Anschauung zu Grund liegt, so auch bei Euklid, indem die dabei als unbiegsam gedachte Gerade bei der Drehung um zwei ihrer Punkte stets in ihrer Lage unveränderlich verharre. Euklid faßt also die gerade Linie als Drehungsachse auf, der Begriff der Zeit spielt bei seiner Definition, wie bei der jeder andern Linie, keine Rolle, indem es vollständig gleichgültig ist, wie langsam oder wie schnell die Drehung der Linie oder die Bewegung des Punktes vor sich gehe. Legendre hat in seiner „Geométrie“ die g. Linie als solche definirt, welche die kürzeste Entfernung zwischen zwei beliebigen ihrer Punkte ergiebt; während Euklid stillschweigend die g. Linie als besondere Art der Linien voraussetzt, also die krummen Linien im allgemeinen als solche kennzeichnet, die nicht auf einerlei Art zwischen ihren Punkten liegen, geht Legendre's Definition in das Gebiet des Unlogischen, indem der Begriff der kürzesten Entfernung die Messung der Längen voraussetzt, die Längenbestimmung LBERG O Universitatsbibliothe gezogen denken und diese bilden in ihrer Gesamtheit eine Ebene. Zwei Punkte einer Geraden bedingen ein bestimmtes Stück derselben, welches eine durch diese Punkte begrenzte g. Linie heißt, im Gegensatzzur unbegrenzten Geraden, die sich nach ihren beiden Richtungen hin ins Unendliche erstreckt. b) Alle gin Linien können als verschiedene Lagen einer und derselben gen Linie angesehen werden, indem eine g. Linie, die mit einer andern zwei Punkte gemeinschaftlich hat, ganz und gar in die letztere hineinfallen muß. Haben nun zwei Gerade verschiedene Lagen, so können sie entweder in einer und derselben Ebene liegen, wenn nämlich jeder Punkt der einen Geraden mit der andern Geraden stets dieselbe Ebene bedingt — od. sie liegen nicht in einer Ebene, wenn die durch einen Punkt der einen Geraden u. durchdiezweite Gerade bedingteEbene nicht dieselbeist, wie die durch die zweite Gerade u. einen andern Punkt der ersten Geraden bedingte Ebene. Liegen beide Geraden in einer Ebene, so können sie sich entweder in ihrer Verlängerung in einemPunkt, dem Durchschnittspunkt, schneiden, od. sie schneiden sichnie. Während auch umgekehrt zwei Linien, welche sich schneiden, stets in einer Ebene liegen müssen, ist dies nicht der Fall bei Linien, die sich nicht durchschneiden. Die Art u. Weise, wie sich zwei Gerade schneiden, wird durch den Winkel bestimmt, so daß dieser das Lagenverhältnis der beiden Geraden angiebt. Die Definition eines Winkels, als die Neigung zweier Geraden, ist nicht vollständig befriedigend; mehr s. unter Konvergenz und Winkel. Zwei g. Linien, welche einen rechten Winkel mit einander bilden, stehen winkelrecht, rechtwinklig auf einander. Von einem Punkt außerhalb einer Geraden kann man auf die letztere eine und zwar nur eine einzige Senkrechte fällen; in einem Punkt einer Geraden kann man auf diese unendlich viele, in einer u. derselben Ebene aber nur eine einzige Senkrechte errichten. M. s. auch d. Art. Senkrechte. Liegen zwei Gerade in derselben Ebene u. schneiden sich nie, man möge sie auch noch so weit verlängern, oder, was dass elbe ist, schneiden sich in unendlicher Entfernung, so heißen siegleichlaufendod. parallel u. haben stets gleiche Entfernung von einander (s. Entfernung). Durch „nur eine einzige Parallele ziehen. Zwei g. Linien, welche nicht tin derselben Ebene liegen (man nennt sie windschiefgegen einander gerichtet), schneiden sich nie, auch nicht, wie die Parallele,in unendlicherEntfernung; doch giebt es in jeder derselben einen Punkt der Art, daß die Entfernung dieser beiden Punkte von einander die kürzeste Entfernung (s. d. 7.) ist, welche überhauptein Punkt der einen Linie von einem Punkt tder andern Linie haben kann. Durch einen Punkt dereinen windschiefen Linie läßt sich mit der andern eine Parallele ziehen, und je nach der Beschaffenheit des Winkels, welchen die Parallele mit der ersteren Linie bildet, nämlich je nachdem er ein rechter, spitzer od. stumpfer ist, nennt man auch die beiden windschiefen Linien auf diefelbe Art gegen einander gerichtet. Ueber die Beziehungen der g.n Linien zu Kurven s. d. Art. Kurve. e) In Beziehung zu einer Ebene kann 1. eine Gerade so liegen, daß sie ganz in dieselbe hineinfällt, also alle ihre Punkte auch Punkte der Ebenen sind (es findet dies schon statt, wenn die Gerade zwei Punkte mit der Ebene gemein hat). 2. Die Gerade schneidet, gehörig verlängert, die Ebene in einem Punkt, dem Durchschnittspunkt, und hat dann auch nur diesen mit derselben gemein. — 3. Die Gerade schneidet die Ebene nie, wie sehr man sie auch verlängere; alle ihre Punkte haben dieselbe Entfernung von der Ebene, in welchem Fall sie der Ebene parallel heißt; dies tritt ein, sobald sie nur einer einzigen in der Ebene liegenden Geraden parallel ist. Schneidet eine Gerade eine Ebene, so kann sie im besondern so gegen die Ebene gerichtet sein, daß alle in der Ebene durch den Durchschnittspunkt gezogenen Geraden rechte Winkel mit ihr bilden; in diesem Fall heißt sie senkrecht auf der Ebene, und zwar tritt dies schon dann ein, sobald sie nur auf zwei der durch ihren Durchschnittspunkt in der Ebene gezogenen Geraden senkrecht steht. Eine g. Linie, welche eine Ebene schneidet u. nicht senkrecht auf ihr steht, heißt schief zu ihr gerichtet. Weiteres s. im Art. Neigungswinkel. — Zwei nicht parallele Ebenen schneiden sich stets in einer Geraden, und zwei parallele Ebenen werden durch eine dritte, ihnen nicht parallele Ebene in zwei parallel laufenden Geraden geschnitten. Ueber die verschiedenen Beziehungen einer Geraden zu einer Fläche und über die geradlinigen Flächen s.d. Art. Fläche. — Bei Körpern mit ebenen Flächen kann die g. Linie als Kante od. Diagonale od. als Transversale auftreten (s.d. betr. Art.); sie kann auch ganz in eine der Begrenzungsflächen hineinfallen oder den Körper gar nicht schneiden. Aehnlich kann eine Gerade bei Körpern mit krummliniger Oberfläche entweder diese gar nicht treffen, oder sie schneidet den Körper, od. sie berührt die Oberfläche, od. endlich sie fällt ganz in die Oberfläche hinein. d) 1. In der analytischen Geometrie der Ebene ist beim gewöhnlichen Punktkoordinatensystem eine gerade Linie für die Ebene durch eine Gleichung des ersten Grades u. für den Raum durch zwei solche Gleichungen bestimmt. Professor Plücker, Bonn, hat (Analyt.⸗geometrische Entwickelungen 2. Bd.) die Abschnitte, welche eine g. Linie an den Achsen eines ebenen rechtwinkligen Koordinatensystems abschneidet, als Koordinaten dieser Geraden angenommen, durch welche die