reihe. — 2.(Arithm.) franz. sörie, engl. series, a) eine Folge von Größen, sogenannten Gliedern, welche nach einem bestimmten Gesetz fortschreiten, wie z. B.: ö 3. ＋ d, à ＋ 2 d, 4 ＋ 3 d u. s. w., oder Jedes Glied hängt auf eine bestimmte Weise von der Ikellenzahl n ab, welche angiebt, das wievielte Glied in der Rdas-Hännrt in ndenne. setz enthalien, wenn an das Glied bedeutet: an ＋ (1 — 1) d; bn der zweiten ist Alle Reihen, deren Glieder ganze algebraische Funktionen der Stellenzahl sind, d. bei denen man an auf die Form bringen kann, an = 22heißen arithmetische Ren, und man unterscheidet nach dan Grad der höchsten Potenz um arithmetische R.n 1., 3./ mter Ordnung. So ist die erste der obigen R.nsolche von der ersten, die zweite von der zweiten Ordnung. Wenn man bei einer R. jedes Glied vom nächstfolgenden abzieht, erhält man eine neue R., welche die erste Differenz-x reihe der ursprünglichen R. heißt, während diese mit dem Namen der Hauptreihe belegt wird. Wenn man zu der neuen R. wieder die Differenzreihe bildet, so erhält man die zweite Differenzreihe der Hauptreihe u. s. f. So ist für die erste Differenzreihe 7, 19, 37, 61, und die dritte wie hier bei der dritten, so werden überhaupt bei einer arithmethischen R. wter Ordnung die Glieder der mten Differenzreihe fämtlich gleichgroß. — 3. Eine Summe von Gliedern, bes. die entwickelte Darstellung einer Funktion einer veränderlichen Größe, meist nach den ganzen Potenzen derselben geordnet. So ist z. B. für Eine solche R. kann nun entweder im Endlichen abbrechen und heißt dann endlich, oder sie kann ins Unendliche fortschreiten und heißt dann unendlich. Eine endliche, nach ganzen positiven Potenzen der Veränderlichen X fortschreitende R. ist stets der Ausdruck einer ganzen algebraischen rationalen Funktion (s. d.); jede unendliche R. dagegen ist die Entwickelung der gebrochenen und der irrationalen algebraischen Funktionen, sowie auch der trauscendenten. Bei unendlichen Ren wächst die Summe entweder ins Unendliche, oder sie schwankt zwischen bestimmten Grenzen ohne Ende hin und her, oder endlich die Summe hat einen bestimmten endlichen Werth. Ein Beispiel der ersten Art liefert die R. der natürlichen Zahlen 1 34 ＋ „ ein Beispiel der zweiten Art die R.1 — 1 1—1— 85 . . „ welche stets gleich oder O ist, je nachdem man eine ungerade od. gerade Anzahl von Gliedern mitnimmt; ein Beispiel der dritten Art liefert endlich die geometrische R 1＋1/4 1/½4＋/½ /16f—„, deren Summe bekanntlich nicht ins Unendliche wächst, sondern gleich 2 ist. Von der Betrachtung werden die Ren der ersten und der zweiten Art ganz ausgeschlossen, man nennt sie divergeut, die Rin der dritten Art dagegen konvergent. Alle konvergenten R.n haben die Eigenschaft, daß man sich ihrem wahren Werth um so mehr nähert, je mehr Glieder man von ihnen addirt. Zur Konvergenz einer R. ist vor allem nöthig, daß die Glieder unendlich abnehmen, d. h. daß das ute Glied Null wird, sobald man ⸗ oo setzt. Doch ist dieses Kennzeichen nicht hinreichend; so wird dasselbe z. B. von der sogenannten harmonischen R erfüllt, obgleich diese R. divergirt. Eins der einfachsten Mittel, die Konvergenz einer 1522 zu untersuchen, ist folgendes: Man bilde den Quotienten des (n — I)ten Gliedes durch das nte, also den Werth . — Ist dieser Werth für ein unendlich großes n kleiner als 1, so konvergirt die R.; ist n größer als 1, so divergirt sie. Nur dann, wenn diefer Quotient gleich wird, läßt sich auf diese Weise die Konvergenz nicht entscheiden und man hat dann noch andere Kennzeichen anzuwenden. Doch konvergiren auch in diesem Fall die Ren, deren Glieder abwechselnde Vorzeichen haben, stets, z. B. die R. Eine R., welche nach Potenzen einer Veränderlichen fortschreitet, kann für gewisse Werthe von X konvergiren, für andere divergiren. So ist die R. konvergent, solange X zwischen — 1 und 1 liegt, sonst aber divergent. Es folgen die am meisten gebräuchlichen zwischen — 1 und 1 liegt, außer in dem Fall, wo v eine ganz positive Zahl ist und die R. von selbst abbricht; wichtige spezielle Fälle sind: wobei e 2enersss. die Basis der natürlichen Logarithmen ist. wo 1/m log nat a, oder m der Modulus des der Grundzahl a entsprechenden Logarithmensystems ist. Beide Ren, 2 und 3, konvergiren stets. 4. log nat (1 ＋ ＝x konvergent für ein X, welches zwischen — 1 und ＋ list, außerdem noch für X 1 selbst. 6. COS X = 1 — beide stets konvergent. ö 1 1.3 beide konvergent, wenn &zwischen —1 und 1 liegt; außerdem für diese Grenzen selbst. Beihung, f., 1. die Gesamtheit der über den Säulen im gothischen Stil sich erhebenden Gurtungen, die das Gewölbe, indem sie es in rautenförmige, viereckige etc. Felder zerlegen, manchfach durchkreuzen u. zieren. — 2. R.en heißen solche Gliedbesetzungen, die als Aufreihung auf einen Faden oder als einfache Nebeneinanderstellung gleicher Dinge erscheinen, z. B. Fig. 1924c, 19256, 1926 b u. c.