doppelt konvexen Punkt, bei welchem die Hauptkrümmungshalbmesser dieselbe Länge haben, bei welchem daher alle Normalschnitte gleich große Krümmungshalbmesser ergeben, einen Nabelpunkt (point ombilicah). Das Ellipsoid hat vier solcher Punkte, die alle vier in der Ebene liegen, welche durch die größte und kleinste Achse bedingt ist; die Kugelfläche ist die einzige F., deren sämtliche Puukte Nabelpunkte sind. Bei den hohl-erhabenen Punkten einer F.liegen die beiden Krümmungshalbmesser nach verschiedenen Richtungen der Normale hin, u. zwar giebt jeder derselben für seine Richtung die kleinste Länge an, welche die Normalschnitte für ihre Krümmungshalbmesser ergeben können. Schnitte, die nicht Normalschnitte sind, können indessen noch kleinere Werthe liefern. Es giebt alsdann auch zwei Normalschnitte, deren Ebenen symmetrisch nach denen der Hauptnormalschnitte zu liegen, für welche die Krümmungsmittelpunkte in unendlicher Entfernung vom Punkt der F. liegen; die betreffenden Schnittkurven derselben haben in dem Punkt der Kurve einen Wendepunkt(s. d. Art. Kurve). Diese Normalschnitte geben den Uebergang an, wo bei der F. die Konkavität in die Konvexität übergeht. Man nennt diejenigen Punkte und Linien, deren Lagen auf einer F. besondere Eigenschaften zeigen, ausgezeichnete Punkte oder Linien; so sind die Spitzen, die vielfachen undisolirten Punkte, ferner die Nabelpunkte ausgezeichnete Punkte, die isolirten und vielfachen Linien ausgezeichnete Linien der F. Solche Punkte und Linien hängen in ihrer Eigenthümlichkeit nur von der F. ab und nicht von den Koordinatenebenen; deshalb sind die Maximums⸗ und Minimumspunktenichtals ausgezeichnete Punkte aufzufassen, da diese von der Lage der Koordinatenebene mit abhängen. Ueber die Krümmungslinien, welche man für jeden Punkt einer F. auf derselben ziehen kann, s. d. Art. Krümmungslinie. VI. Ueber die einzelnen Flächenarten, die häufiger vorkommen, s. d. Art. Kugelfläche, Ellipsoidfläche, Schrauben-Ifläche etc. Zu den F.n des zweiten Grades oder der zweiten iglit / mothes 1882bd?/0348 K Heidelberg DFC Ordnung gehört das Ellipsoid, die beiden Hyperboloide, die beiden Paraboloide, die Kreiskegelfläche, die auch je nach der Grundfläche eine elliptische, parabolische oder hyperbolische Kegelfläche sein kann, u. die elliptische, parabolische und hyperbolische Cylinderfläche. Von den erstgenannten fünf Fin gehört das Ellipsoid, das zweischalige Hyperboloid u. das elliptische Paraboloid zu den konvexen Fin, weil alle Punkte derselben nur entweder als konvex oder als konkav anzusehen sind, während es keine konvekkonkaven Punkte auf ihren Oberflächen giebt. Dagegen gehören das einschalige Hyperboloid und das windschiefe Paraboloid zu den konkav-konvexen Fon, da alle Punkte derselben konkav-konvex u. kein einziger doppeltkonvex od. doppeltkonkav ist. Es seien hier noch die Flächenfamilien von allgemeinerem Interesse betrachtet, die entweder durch die Bewegung einer ganz bestimmten Kurve entstehen, indem dabei diese Kurve ihre Gestalt stets beibehält, oder bei welchen eine Kurve bei ihrer Bewegung stetig u. nach einem bestimmten Gesetz ihre Gestalt ändert, doch so, daß sie derselben Art angehörig bleibt, oder endlich bei deren Entstehung die Bewegung von Fin mitwirkt. Läßt man eine F. durch die stetige Bewegung einer Kurve entstehen, so heißt diese selbst die erzeugende Kurve oder die Generatrix. Man kann die Bestimmung stellen, daß die in ihrer Gestalt unverändert bleibende erzeugende Kurve bei ihrer Bewegung eine oder mehrere andere der Lage u. Gestalt nach gegebene Kurven, deren jede eine Direktrix, Richtungskurve oder Leitlinie der entstehenden F. heißt, schneiden solle. Die Gesamtheit aller Lagen der er-é zeugenden Kurve, welche alle durch die Direktrixkurven hindurchgehen, ist dann die verlangte F. Ist die erzeugende Kurve eine gerade Linie, so heißt die entstehende F. selbst eine geradlinige, weil sich durch jeden Punkt derselben wenigstens eine gerade Linie (die eine Lage der erzeugenden Geraden ist) ziehen läßt, welche ganz in die F. hineinfällt. Man nennt die geradlinigen Fin auch Regelflächen (frz. surfaces réglées), vom Ausdruck „Regel“ für Lineal abgeleitet. So entstehen die Cylinderflächen, wenn man die erzeugende Gerade, die ihrer Richtung nach bekannt ist, stets parallel mit sich selbst verschiebt, indem sie l dabei stets eine bestimmte Kurve, die Direktrix, schneidet; bei den Kegelflächen geht die erzeugende Gerade stets durch einen bestimmten Punkt im Raum u. schneidet außerdem eine Direktrix. Die Cylinderfläche kann als eine Kegelfläche angesehen werden, bei welcher der Punkt, durch den alle erzeugenden Geraden gehen, in unendlicher Entfernung liegt. Der allen Erzeugungslinien eines Kegels gemeinschaftliche Punkt, der die Spitze der Kegelfläche heißt, kann auch als eine in einen Punkt übergegangene Direktrix angesehen werden. Die geradlinigen Fin zerfallen in ent-od. abwickelbare (frz. surfaces dévelop-⸗ pables), bei welchen die erzeugende Gerade bei ihrer Entstehung, indem sie in ihre nächste, unendlich wenig verschiedene Lage übergeht, mit dieser Nachbargeraden in einer Ebene bleibt, u. in windschiefe (frz. surtaces déversées), bei welchen dies nicht der Fall ist, indem durch die Gerade u. ihre Nachbargerade keine Ebene gelegt werden kann. Bei den abwickelbaren Oberflächen erhält man für jede Lage der Erzeugungslinie und ihre Nachbarlage einen Durchschnittspunkt, der, wenn beide Lagen, wie bei den Cylinderflächen, parallel laufen, auch in unendlicher Entfernung liegen kann; alle die Durchschnittspunkte bilden eine Kurve, welche die Wen dekurve der abwickelbaren F. genannt wird. Bei Kegelflächen geht die Wende kurve in einen Punkt über. Eine Berührungsebene berührt eine abwickelbare F. in allen Punkten der erzeugenden Geraden, die durch den Berührungspunkt hindurch geht. Bei den windschiefen Fen giebt es dagegen keine Wendekurve, da sich die erzeugenden Geraden in ihren auf einander folgenden Lagen nicht schneiden; eine Berührungsfläche tangirteine derartige Fläche nur in dem Berührungs-SIETIOTHEE punkt, durchschneidet sie aber in allen anderen Punkten der erzeugenden Geraden, welche durch den Berührungspunkt geht, so daß diese erzeugende Gerade zwar auch in jeder Berührungsebene liegt, welche die F.in einem ihrer Punkte berührt, daß aber jeder ihrer Punkte eine andere Berührungsebene an die F. bedingt. Unter den windschiefen Fin giebt es eine Art, welche man kon oidische oder Keilflächen nennt, die durch die Bewegung einer Geraden entstehen, welche stets einer der Lage nach gegebenen F. parallel bleibt, u. gleichzeitig eine gegebene gerade Linie u. außerdem eine gegebene Kurve zu Direktrixkurven hat. Im allgemeinen wird durch die Bewegung einer Geraden, die drei gegebene Kurven zu Direktrixkurhen hat, stets eine windschiefe F. bedingt; statt der Richtungskurven kann man auch die Bedingung stellen, die erzeugende Gerade solle eine oder mehrere Oberflächen bei der Bewegung stets berühren; man nennt dann diese gegebenen Oberflächen Richtungsflächen. Eine F. ist überhaupt bestimmt, wenn die erzeugende Kurve für jede ihrer Lagen ganz genau bestimmt ist; es geschieht dies z. B., wenn die erzeugende Kurve ihre Gestalt nicht ändern soll, sobald fünf Direktrixkurven gegeben sind; doch genügen für den Fall, daß die erzeugende Kurve eine Kreislinie ist, schon deren vier, und wenn sie eine gerade Line ist, drei Direktrixkurven. Durch die Umdrehung einer Kurve um eine bestimmte, der Lage nach gegebene gerade Linie entstehen die Rotationsflächen oder Umdrehungsflächen, bei denen man die Gerade, um welche die Drehung geschieht, Rotations- oder Drehungsachse nennt. Ein Durchschnitt einer solchen F. durch Ebenen, welche die Achse in sich enthalten, giebt stets kongruente Kurven, welche man Meridiankurven nennt, während der Durchschnitt mit Ebenen, die senkrecht auf der Achse stehen, stets Kreislinien liefert. Die Rotationsfläche kann zugleich als Beispiel der Entstehung von F.n angesehen werden, bei welchen die erzeugende Kurve ihrer Art nach gegeben ist, aber stets ihre Gestalt ändert. Denkt man sich nämlich eine Kreislinie parallel sich so verschieben, daß ihr Mittelpunkt sich auf einer geraden Linie, der Drehungsachse, fortbewegt, u. daß die Ebene der Kreislinie stets senkrecht auf dieser geraden Linie steht, während die Kreislinie bei ihrer Bewegung stets eine bestimmte Direktrix schneiden soll, so erhält man gleichfalls die Umdrehungsflächen. Es schneiden bei diesen alle Normalen die Drehungsachse. VII. Eine andere Art der Entstehung von Fin ist die, daß man annimmt, eine F. von gegebener Art nehme bei stetiger Aenderung ihrer Stelle im Raum auch gleichzeitig stetige Aenderung in ihrer Gestalt vor, jedoch so, daß sie von derselben Art bleibt (s. auch d. Art. Familie). Es haben dann je zwei der auf einander folgenden Lagen der sich bewegenden F., deren jede die eingehüllte od. umhüllte F. genannt wird, eine Kurve, welche die Charakteristik heißt, zum Durchschnitt; alle diese Durchschnittskurven für die verschiedenen Lagen der umhüllten F. bilden selbst die Ein-oder Umhüllungs-oder Grenzfläche (frz.surkace enveloppe). Denkt man sich z. B.,eine Kugel bewege sich so, daß ihr Mittelpunkt stets auf einer Ellipse bleibe, während für jede Lage der Kugel ihr Halbmesser der Entfernung des Mittelpunktes vom Mittelpunkt der Ellipse proportional ist, wobei der Halbmesser für eine bestimmte Lage der Kugel gegeben ist, so bildet die Umhüllungsfläche dieses ganzen Systems von Kugeln einen sogen. Wulst. Noch einfacher ist es, wenn die Kugel bei ihrer Bewegung stets denselben Halbmesser behalten soll, in welchem Fall man die entstehende Fläche eine Röhrenfläche nennt; bei diesen sind alle Charakteristiken Kreislinien, haben alle den Halbmesser der Kugel und stehen mit ihrer Ebene auf der Richtungskurve, auf welcher sich der Mittelpunkt der Kugel bewegt, normal. — Die Umhüllungsfläche berührt jede einzelne der umhüllten F.n in ihrer Charakteristik, so daß die Tangentia lebene in jedem der Punkte der Charakteristik gleichzeitig die Umhüllungsfläche u. die entsprechende umhüllte F.berührt. — Die auf einander folgenden Lagen der Charakteristiken schneiden sich selbst in ihrer stetigen Folge in Punkten, die eine Kurve bilden, welche man auch, wie bei den abwickelbaren Fin, Wendekurve nennt; überhaupt sind die abwickelbaren Fin als eine Unterabtheilung der Umhüllungsflächen anzusehen, wobei eine Ebene sich fortbewegt und die Charakteristiken gerade Linien sind. 4. Bei Polyedern mit ebenen Fin braucht man oft den Ausdruck „Fläche“ für eine der begrenzenden Ebenen. Die Gesamtheit des Flächeninhalts der sämtlichen ebenen Begrenzungsfiguren heißt dann zum Unterschied die Oberfläche des Körpers. So ist bei einem regulären Oktaeder jede der Fin ein gleichseitiges Dreieck, und die ganze Oberfläche ist achtmal so groß wie der Quadratinhalteiner solchen F., s. auch d. Art. Ecke, Körper. In England nennt man auch die Oberfläche von Cylindern oder Kegeln, ohne Berücksichtigung der Grundflächen, also das, was wir Mantel nennen, die konvexe Oberflächelengl. convex surface). — 5. Bei rechtwinklig bearbeiteten, also parallelepipedischen od. würfelförmigen Bausteinen unterscheidet man: Lagerfläche, die untere F.; Stirnfläche, die vordere; Stoßfläche, die zu beiden Seiten, und Hinterfläche.