Gleichung, f. (Mathem.), frz. E6quation, f., engl. equation, lat. aequatio, ist die durch die Gleichstellung vollführte Verbindung zweier gleichartiger Größen, in deren jeder also die Einheit eben so oftmal enthalten ist. Jede dieser beiden Größen selbst heißt in Bezug auf die G. eine Seite oder ein Theil der G., frz. membre, lat. membrum; die zur Linken des Gleichheitszeichens (= stehende Größe heißt die erste oder linke Seite der G., die zur Rechten stehende die zweite oder rechte Seite. Jede dieser Seiten kann aus mehreren, durch Addition oder Subtraktion verbundenen Theilen bestehen, deren jeder, für sich betrachtet, dann ein Glied der G., frz. terme, engl. term, lat. terminus, heißt. Auch die Glieder können aus mehreren Größen bestehen, welche, wenn Zahlengrößen, durch Multiplikation oder Division, Potenzirung, Wurzelrechnung, Logarithmirung, Differenzirung oder Integration unter einander in Verbindung stehen. Je nachdem die gleichgestellten Ausdrücke benannte od. unbenannte Zahlen sind, unterscheidet man benannte oder unbenannte G. en. Bei benannten G.en müssen, um Gleichartigkeit zu erreichen, die benannten Einheiten für beide Ausdrücke dieselben sein. Die Arithmetik betrachtet nur unbenannte G.en, die also nur Zahlwerthe enthalten. Die sogenannten Wortgleichungen (s. unter XVII.) gehören daher zur angewandten Mathematik,; bei ihnen gelangt man erst durch einen weiteren Schluß in das Gebiet der Arithmetik. Den G.en sind in der Arithmetik die Ungleichungen oder Ungleichheiten entgegengesetzt, bei denen der eine von zwei mit einander in Vergleichung gebrachten Ausdrücken größer oder kleiner ist als der andere. I. Analytische Gleichungen, Gegenstand der Analysis, sind solche, bei welchen die gleichgestellten Ausdrücke nur verschiedene Formen einer und derselben Größe sind, sei es, daß der eine Ausdruck nur eine neue Bezeichnung einführt, wie z. B. bei 25 = 2422, was man eine Definitionsgleichung nennen kann, oder sei es, daß der eine Ausdruck eine rein arithmetische Umformung des andern ist, wie z. B. bei (a b)e ＋ 24b＋ b, Kom-SIETIOTHEE men mithin in analytischen G.en allgemeine Größen vor, so bleiben die G.en richtig, man mag diesen Größen einen, wenn auch vielleicht durch gewisse Grenzen beschränkten Werth beilegen, welchen man will; so kann man, unbeschadet der Richtigkeit, in (a — b)2 — 22— 2 ab für a und für b ganz beliebige Werthe wählen; dieselben noch so groß oder noch so klein, reell oder imaginär annehmen. Herrscht dagegen nur beschränkte Gültigkeit für derartige analytische Formänderungen, so muß dies besonders angedeutet werden; so hat z. B. die analytische Gleichung: log nat (1 ＋ X Xx — 42 * ＋ — oder x zwischen — 1 und ＋1 fällt. Aehnlich kann eine analytische G. für reelle Werthe der in ihnen vorkommenden Größen allgemein richtig sein, während sie es für imaginäre nicht ist (3. B. nach Cauchy die G. Jog ab ＝ b log a). Als besondere Art der analytischen Glen kann man die identischen G.en ansehen, bei denen beide Seiten sowohl gleichen Werth wie auch gleiche Form haben; z. B. 4 a, oder a2 ＋ b à ＋ b. Die identischen G.en geben demnach auch Gleichheit für die einzelnen Glieder, oder sie lassen sich in so viele G.en zerlegen, als sie Glieder haben; so zerfällt die G. a bESabe in aa, bb, C =C. Die Identität ist folglich ein höherer Grad der