Goniometrie, f. Math.), dem Wortlaut nach Lehre von Messung der Winkel. Man könnte passend die elementare Geometrie in eine Lehre von der Linienmessung, bei welcher nur Längeneinheiten gemessen werden, während die Winkel keiner Zerlegung in Einheiten unterliegen, sondern nur durch die Lage der sie bildenden Geraden bekannt werden, u. in eine Lehre von der Winkelmessung (Goniometrie) eintheilen, bei welcher letzteren die Aufgabe der Winkel mit Hülfe der Winkeleinheiten, nämlich Grade, Minuten etc., geschieht. Jene erstere Abtheilung würde dann die gewöhnliche Planimetrie und die gewöhnliche Stereometrie umfassen, während die letztere die ebene u. sphärische Trigonometrie u. Polygonometrie, nebst der Cyelometrie (d. h. die Lehre von der Messung von Kreisbogen, etwa bliotnek Heidelberg wenn eine trigonometrische Funktion gegeben ist), entwo man es nur mit trigonometrischen Funktionen ohne Beimischung von Längeneinheiten zu thun hat, die Bezeichnung goniometrisch für trigonometrisch; s. auch d. Art. Geometrie. — Ist in einem rechtwinkligen Dreieck ein spitzer Winkel gegeben, so sind zwar unendlich viele Dreiecke möglich, welche diesen Winkel besitzen, aber alle sind unten einander ähnlich, o. h. ihre Seiten stehen in gleichem Verhältnis. Durch einen der spitzen Winkel sind daher die Ver-Minute, diese Verhältnisse der Seiten, so würde man durch eine aus denselben zusammengestellte Tabelle aus irgend zwei Bestimmungsstücken eines rechtwinkligen Dreiecks die übrigen finden können. Es ist in Fig. 1949: Sinus: sin 1. Sinus: si 2. Cosinus: cos 3. Tangente: tang 4. Cotangente: cotg 50 5. Secante: sec 6. Cosecante: cosec 885 Diese 6 Quotienten führen den Namen der goniometrischen oder trigonometrischen Funktionen. Ihre Werthe sind in nachstehender Tabelle für einige Winkel angegeben, bei denen sie sich durch geometrische Betrachtungen finden lassen. Cotangente /3 1 Secante 1 Vaf, /2 Cosecante.. 0⁰ 2 Da Secante und Cosecante offenbar reziproke Werthe von Cosinus und Sinus sind, d. h. mit diesen multiplizirt die Einheit geben, so hat man in den Tabellen ihre Werthe gewöhnlich nicht aufgezeichnet. Die trigonometrischen Funktionen hängen von einander ab, so daß die eine sich aus der andern ergiebt; insbesondere gelten folgende Formeln: Daher berechnet man jede der trigonometrischen Funktionen aus den anderen wie folgt: Die trigonometrischen Funktionen zusammengesetzter Winkel lassen sich ausdrücken durch diejenigen der einzelnen Theile; bes. gelten folgende 4 Hauptformeln: Wenn man in diesen Formeln das obere Vorzeichen nimmt eund 5 ⸗ a setzt, so erhält man Formeln, welche die trigonometrischen Funktionen der doppelten Winkel ausdrücken durch diejenigen der einfachen. So wird: 5. sin 2 2 sin & C08 Umgekehrt ergiebtsich für die trigonometrischen Funktionen der halben Winkel: sin 1＋ cos a Diese 12 Formeln bilden die wichtigsten Grundformeln der G. Im Vorhergehenden ist die Definition der trigonometrischen Funktionen nur für Winkel unter 900 gegeben; will man dieselbe auf Winkel über diese Grenze ausdehnen, so ist man genöthigt, den trigonometrischen Funktionen bestimmte Vorzeichen zu geben. In folgender Tabelle sind sie für die vier Quadranten zusammengestellt. 1. Quadrant (0ꝰ900) 4. „ (70-860%0 Man ist ferner im Stande, die trigonometrischen Funktionen aller Winkel über 45auszudrücken durch diejenigen der Winkel von 0—45e, so daß man in den Tafeln nur die trigonometrischen Funktionen der Winkel von 0—45 zusammenzustellen braucht. Die Reduktion geschieht mit Hülfe folgender Tabelle: Winkel. Sinus. Cosinus. Tang. Cotang. Ulmm die trigonometrischen Funktionen zu berechnen, könnte man die Formeln 1—12 benutzen, und mit deren Hülfe aus den bekannten Funktionen der Winkel von 30, 36, 45 und 60 successive diejenigen der übrigen ableiten. Ein solcher Weg würde ungemein zeitraubend sein; glücklicherweise liefert die höhere Mathematik viel einfachere Methoden. Bei diesen wird jedoch ein Winkel nie in Graden ausgedrückt, sondern als Länge, nämlich durch die Länge des zu ihm gehörigen Bogens eines Kreises vom Halbmesser 1. Es ist leicht, beide Ausdrücke auf einander zu reduziren. Es ist nämlich: Ist so ein in Graden ausgedrückter Winkel auf Bogenlängen reduzirt worden, so findet man seinen Sinus und Cosinus mit Hülfe der beiden Reihen: Das Gesetz, nach welchem diese beiden Reihen fortgehen, ist sehr einfach zu erkennen, was bei den Reihen für Tangente und Cotangente nicht so leicht ist. — Auch hat man Rejhen für die Logarithmen der trigonometrischen Funktionen, so daß man leicht sowohl Tafeln konstruiren kann für die Werthe der Funktionen, als auch für ihre Logarithmen. Es besteht ein sehr einfacher Zusammenhang zwischen den trigonometrischen und den Exponentialfunktionen; setzt man nämlich in die Reihe für en: statt & den Werth XV — 1 ein, so erhält man die Summe Ccoꝗ X — 1 sin x, so daß: woraus folgt: o x Durch Anwendung dieser Sätze erhält man eine große Reihe wichtiger Formeln.