Kurve, f., frz. courbe, ligne f. courbe, engl. curve, curve line, 1. (Math.) heißt eine Linie, wenn alle Punkte in derselben ein bestimmtes Gesetz befolgen. Gewöhulich wird krumme Linie für gleichbedeutend mit K. gehalten, doch ist „Kurve“ allgemeiner, indem darunter auch die gerade Linie, sowie die Zusammenfassung mehrerer Linien, wie die von Linien und Punkten enthalten sind. I. Eintheilung der Kurven. a. Die natürlichste Eintheilung ist die in ebene und räumliche. Bei der ersteren Art läßt sich durch drei beliebige Punkte der K. stets eine und dieselbe Ebene legen, bei der zweiten Art ist dies nicht der Fall. Die letzteren heißen Kendoppelter Krümmung, wenn dies auch bei unmittelbar auf einander folgenden Punkten nicht stattfindet. Das Gesetz, dem die Punkte der K. unterworfen sind, wird am einfachsten ausgedrückt mit Hilfe von Koordinaten (s. d.). Wirdein Punkt der Ebene durch zwei Koordinaten bestimmt, so drückt eine Gleichung zwischen den 2 Koordinaten das Gesetz einer ebenen K. aus; giebt man der einen Koordinate in dieser Gleichung einen bestimmten Werth, so erhält man einen od. mehrere Werthe für die andre Koordinate, u. kann hiernach dann die entsprechenden Punkte konstruiren. Bei räumlichen Kan, wo ein Punkt durch 3Koordinaten gegeben ist, bedarf es zweier Gleichungen für die K.; jede einzelne dieser Gleichungen drückt eine Fläche aus, und die K. selbst ergiebt sich als Durchschnitt zweier Flächen; giebt man einer der Koordinaten einen bestimmten Werth, so erhält man daraus die Werthe der anderen Koordinaten und so die entsprechenden Punkte der K. b) Bei Benutzung der gewöhnlichen Koordinaten, der rechtwinkligen Punktkoordinaten, theilt man die ebenen und räumlichen Kin in algebraische und transcendente; algebraische sind solche, bei denen die allgemeinen Koordinatenwerthe in den Gliedern der Gleichungen der K. als Faktoren, und zwar nur als Basis ganzer Potenzen auftreten, oder für die man die Gleichüngen so umändern kann, daß dies geschieht. Wenn aber z. B.auch eine Koordinate als Exponent einer Potenz auftritt od. als Logarithmand od. in Sinus-, Cosinus- und ähnlicher Form, heißt die K. transcendent. e) Unter den ebenen Ken theilt man die algebraischen wieder in solche vom 1., 2., 3. Grad etc., je nachdem durch den höchsten Potenzexponenten der Koordinaten für die einzelnen Glieder die erste, zweite, dritte Potenz etc. bedingt ist. Kommen hierbei in einem Glied Produkte von Potenzen mehrerer Koordinaten vor, so giebt die Summe der Exponenten der einzelnen Potenzen den Grad an; kommt z. B. das Glied 3uys vor, so ist hier, da 3 nicht einwirkt, dagegen X den Exponenten 1 und ye den Exponenten 2 hat, dies Glied vom 1.(◻ 2. oder 3. Grad; ist nun 3 der höchste Exponent, der unter den Gliedern vorkommt, so ist die Kurve vom dritten Grad. Die gerade Linie ist stets eine K. vom ersten Grad und umgekehrt; die Kegelschnitte sind ebene Ken vom zweiten Grad. Professor Plücker in Bonn hat in seinem „System“ und in seiner „Theorie der algebraischen Kin“ die ebenen Kin des dritten und vierten Grades genau betrachtet. Wie schon die Kegelschnitte in drei Gattungen, Ellipse, Parabel und Hyperbel, zerfallen, so haben die Kun höherer Grade noch bei weitem mehr Unterabtheilungen. Früher theilte man die Kan in Klassen und schloß die gerade Linie aus, so daß damals K. dern. Klasse hieß, was jetzt K. des n ＋ 1. Grades heißt; die Kegelschnitte waren hiernach Kin der 1. Klasse. d) Bei den transcendenten Kin läßt sich nur von einzelnen Familien sprechen, d. h. von bestimmten Kurvenarten, die eine gewisse Aehnlichkeit mit einander haben; vgl. transcendente K.n. e) Für Ken doppelter Krümmung hat man keine besondere Klassifikation; indem sie nämlich als Durchschnitt zweier Oberflächen aufgefaßt werden und die Flächen ähnliche Klassifikation zulassen, wie ebene Ken, mit Hülfe ihrer Gleichungen, genügt die Angabe der Flächen schon zu Bestimmung der K.n. II. Da die Ken, wie die Linien überhaupt, als Spur eines fortrollenden Punktes aufgefaßt werden können, so kann man stetige und unstetige unterscheiden, je nachdem der rollende Punkt in stetigem Fortrollen die ganze Kurve beschreiben kann, od. man sich gezwungen sieht, zwei oder mehrere verschiedene Punkte stetig fortrollen zu lassen. In letzterem Fall nennt man den stetigen Theil, der durch einen u. denselben Punkt beschrieben wird, einen Zweig der K. So besteht z. B. die Hyperbel aus zwei Zweigen. Stetig gebildete Ken sind hiernach K.n, die aus einem einzigen Zweig bestehen. Denkt man sich aber einen solchen Punkt, der einen Zweig der K. erzeugt, statt fortzurollen, auf der Stelle bleibend, so geht der Zweig selbst in einen Punkt über, und man nennteinen solchen Punkt, der mit zu eder K. gehört, einen konjugirten od isolirten Punkt „der K. Ueber die Fälle, wo mehrere isolirte Punkte zu einer tK. gehören; s. subVIII. Nach der Form der Zweige theilt e man sie in geschlossene u. offene, die geschlossenen od. ⸗zurückkehrenden bedingen einen bestimmten Theil des „von ihnen eingeschlossenen Raumes; mathematisch auf⸗ „gefaßt kann man sie durch das unendliche Fortrollen eines uPunktes entstanden denken, der immer wieder in die alte nBahn kommt; so z. B. die Ellipse u. ihre Abart, der Kreis, ferner die Lemniscate, die Cardioide. Bei den offenen „Zweigen kommt der rollende Punkt nie wieder in dieselbe siothek Heidelberg Bahn. Offene Zweige oder Kin können nun entweder nur nach einer Seite hin sich ins Unendliche erstrecken, wie z. B.