Funktion (lat.) einer Variablen heißt in der mathematischen Analysis seit dem 18. Jahrh. eine von der Variablen abhängige Größe, welche aus einem gegebenen Wert der Variablen berechnet werden kann, und welche sich ändert, wenn die Variable sich ändert. Wenn x, Y durch eine Gleichung verbunden sind, so ist y eine bestimmte F. von X, sowie xX eine bestimmte F. von y. Je nach der Gleichung ist y eine algebraische oder eine transcendente F. von x. Die einfachsten algebraischen sind die ganzen, die gebrochenen, die irrationaen F. von Xx. Andere F. wachsen der Analysis zu durch die unendlichen Reihen (Potenzreihen, trigonometrische Reihen, Kettenbrüche, Produkte), noch andere durch Integration der Differentialgleichungen h dx, Ny. Wenn insbesondere dy: dx algebraisch ist, so ist y ein Abelsches Integral von X, und X eine Abelsche F. von y. Die einfachsten transscendenten Abelschen Integrale sind die Logarithmen, die elliptischen und die Abelshen Integrale, welchen die einfachsten Abelschen F. zugeordnet sind, die Exponentialen mit Einschluß der trigonometrischen F., die elliptischen und die hyperelliptischen F. Dabei ist es notwendig, unter X nicht nur eine sog. reale Zahl zu verstehen, sondern eine unbeschränkt allgemeine (komplexe) Zahl. Die neuere Wendung der Analysis, begründet durch Legendre, Gauß, Cauchy, Abel, Jacobi, Riemann, Weierstraß, ist wesentlich Theorie der F.