Beweis, m., franz. démonstration, f., heißt im allgemeinen die Darlegung der Wahrheit oder Unwahrheit einer Sache, und sein Zweck ist, etwas zur Gewißheit zu bringen. In logischem Sinn ist ein B. die Ableitung eines knüpfung. Beweise beruhen daher ihrer Form nach auf Schlüssen, deren Prämissen die Beweisgründe (argumenta) sind. Ein B., der vollständige Gewißheit gewährt, heißt apodiktisch; bleibt aber das Gegentheil noch möglich, so ist er nur Wahrscheinlichkeits-B. In der Mathematik unterscheidet man 1. den direkten B. von dem indirekten; bei dem ersteren verbindet man die Angabe unmittelbar mit früher gezeigten Wahrheiten; beim indirekten oder apagogischen B. dagegen zeigt man die Unhaltbarkeit des Gegentheils der Behauptung und kommt so zu Begründung des aufgestellten Satzes. Es ist daher bei einem apagogischen B. nöthig, daß man vor allem darthut, daß überhaupt einer der Fälle, des behaupteten wie des entgegengesetzten, stattfinden müsse; da er in der Mathematik meist bei dem B. der Umkehrung eines Satzes gebraucht wird, so ist durch diesen früheren Satz schon diese Möglichkeit gezeigt. 2. Ebenso ist deranalytische B. vom snthetischen zu unterscheiden. Der erstere nimmt die Möglichkeit der Behauptung an, denkt sich das zu Zeigende schon ausgeführt und macht hieraus Schlüsse, bis die Verbindung mit bekannten Wahrheiten oder Unrichtigkeiten hergestellt ist, um so auf die Richtigkeit oder Unrichtigkeit des aufgestellten Satzes zu schließen. Beim synthetischen B. geht man von bekannten Wahrheiten aus und gelangt endlich zu der Behauptung. Der synthetische B. gewährt daher volle Garantie, ist aber der komplizirtere, da die rechte Wahl unter den vielen bekannten Wahrheiten zu treffen ist; der analytische Weg lehrt diese Wahrheit selbst finden; man findet daher oft beide gemeinschaftlich benutzt. Der synthetische Gang baut mithin suecessive das mathematische Gebäude auf, der analytische löst nach und nach das als gebaut Vorgestellte in seine Theile auf. Da man sich in der Arithmetik die zu suchende Größe ihrem Werth nach als gefunden vorstellt, so ist hierdurch der Name Analysis, der häufig für die ganze Arithmetik gebraucht wird, erklärt.